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卡方检验是一种重要的非参数统计检验方法，主要用于分析分类变量之间的关联性。它通过比较实际观测到的频数与在某种假设下期望得到的频数之间的差异程度来进行判断。核心公式是卡方统计量等于观测频数减去期望频数的平方除以期望频数的总和。
让我们通过一个具体例子来理解卡方检验。假设我们要检验汽车上两个按钮的故障率是否相同。我们测试了100辆车，记录了故障情况。观测数据显示按钮A故障20次，按钮B故障40次。通过计算期望频数并应用卡方公式，得到卡方统计量约为12.76，这表明两个按钮的故障率存在显著差异。
卡方检验有三种主要应用场景。第一是拟合优度检验，用于检验观测数据是否符合某个理论分布，比如检验产品次品率是否稳定在预期的百分之一。第二是独立性检验，用于检验两个分类变量是否独立，比如年龄与品牌偏好是否有关联。第三是同质性检验，用于比较不同组在某个变量上的分布是否相同，比如比较不同供应商的产品质量分布。
让我们看一个实际的制造业案例。某汽车零部件制造商生产的电子助力转向机构出现故障率上升问题。工程师怀疑问题与角度传感器供应商有关。通过收集1000个EPS样本数据，发现供应商A的故障率为2.5%，而供应商B的故障率高达8.75%。卡方检验结果显示卡方值为19.74，P值小于0.001，证明两个供应商的故障率存在极其显著的差异。
总结一下，卡方检验是分析分类数据的重要工具，通过比较观测频数与期望频数来判断统计显著性。它在制造业质量控制中发挥重要作用，能够快速定位问题源头，比较供应商质量，验证工艺改进效果。使用时需要注意期望频数要求每个单元格至少为5，适用于分类变量，小样本时可考虑Fisher精确检验。