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勾股定理是平面几何中最重要的定理之一。它告诉我们，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。用数学公式表示就是：a的平方加b的平方等于c的平方。
我们可以通过面积法来证明勾股定理。构造一个边长为a加b的大正方形，将其分割成一个边长为c的小正方形和四个全等的直角三角形。大正方形的面积等于a加b的平方，也等于小正方形面积c的平方加上四个三角形的面积。通过等式变换，我们得到a的平方加b的平方等于c的平方。
勾股定理还有一个重要的逆定理：如果一个三角形的三边长满足勾股定理的关系式，那么这个三角形一定是直角三角形。例如，边长为3、4、5的三角形，因为3的平方加4的平方等于5的平方，所以它是直角三角形。而边长为4、3、6的三角形，因为不满足这个关系，所以不是直角三角形。
满足勾股定理的正整数组合被称为勾股数组。最著名的是3、4、5这组数，因为3的平方加4的平方等于5的平方。其他常见的勾股数组还有5、12、13，8、15、17等。这些数组在古代就被广泛应用于建筑和测量中，帮助人们构造精确的直角。
勾股定理在现实生活中有着极其广泛的应用。在建筑工程中，工人们使用勾股定理来确保建筑物的直角结构。在测量学中，可以通过已知的水平距离和垂直高度来计算斜边长度。在导航和GPS定位中，勾股定理帮助计算两点间的直线距离。它是连接数学理论与实际应用的重要桥梁。