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我们要计算cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7)的值。这个问题涉及到单位圆上特殊角度的余弦值。让我们在单位圆上标出这些角度，它们分别对应2π/7、4π/7和6π/7弧度。
要解决这个问题，我们可以利用复数的7次单位根。方程z的7次方等于1有7个解，它们是e的2πik/7次方，其中k从0到6。这7个根在复平面上均匀分布在单位圆上。根据代数基本定理，这些根的和等于零。
现在我们来分离实部求解。从单位根的和等于零，我们得到所有余弦值的和为零。展开后包含cos(0)等于1，以及其他6项。利用余弦函数的周期性和对称性，cos(8π/7)等于cos(6π/7)，cos(10π/7)等于cos(4π/7)，cos(12π/7)等于cos(2π/7)。因此原式变为1加上2倍的目标和等于零，所以目标和等于负二分之一。
让我们用数值方法验证这个结果。计算得到cos(2π/7)约等于0.6235，cos(4π/7)约等于负0.2225，cos(6π/7)约等于负0.9010。将这三个值相加：0.6235减去0.2225再减去0.9010，等于负0.5000，正好等于负二分之一。这验证了我们的理论计算结果。
综上所述，通过利用7次单位根的代数性质，我们得出了cos(2π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7)等于负二分之一。这个方法展示了复数理论在三角函数计算中的强大应用。我们从单位根和为零的性质出发，利用余弦函数的对称性，最终得到了精确的解析解，并通过数值计算验证了结果的正确性。