视频字幕
我们来分析这个优化问题。已知A大于B大于0，要求A的平方加上B乘以A减B分之一的最小值。这个表达式有两种可能的理解方式。第一种是A²加上B除以A减B，第二种是A²加上1除以B乘以A减B。在约束条件A大于B大于0下，我们需要在这个可行域内寻找最优解。
对于第一种解释，表达式为A的平方加上B除以A减B。通过分析可以发现，当A和B同时趋近于0时，比如令A等于B加ε，B等于ε的平方，当ε趋近于0时，整个表达式可以任意接近于0。这意味着函数的下确界是0，但永远无法达到这个值，因此不存在最小值。
对于第二种解释，表达式为A的平方加上1除以B乘以A减B。这种情况下存在非平凡的最小值。我们使用变量替换来简化问题：令x等于A减B，由于A大于B，所以x大于0。将A表示为B加x，原表达式就变成了B加x的平方加上1除以Bx。现在问题转化为在B大于0、x大于0的约束下，求这个新表达式的最小值。
我们使用AM-GM不等式来求解最小值。首先将表达式展开为B²加2Bx加x²加1除以Bx。由AM-GM不等式，B²加x²大于等于2Bx，当且仅当B等于x时等号成立。因此原表达式大于等于4Bx加1除以Bx。令v等于Bx，则有4v加1除以v大于等于4，当v等于二分之一时取得最小值4。
根据前面的分析，当v等于二分之一且B等于x时，表达式取得最小值。解得B等于x等于根号2除以2，因此A等于B加x等于根号2。将这些值代入原表达式，得到A²加上1除以B乘以A减B，等于2加上1除以二分之一，等于4。因此，在约束条件A大于B大于0下，表达式A²加上1除以B乘以A减B的最小值为4。