视频字幕
有理数是数学中的基本概念。有理数定义为可以表示为两个整数之比的数，即p除以q的形式，其中p和q都是整数，且q不等于零。有理数包括所有整数、分数、有限小数和无限循环小数。在数轴上，有理数分布稠密，但仍有无穷多个空隙被无理数填充。
与有理数相对的是无理数。无理数是不能表示为两个整数之比的数，它们的小数表示是无限不循环的。常见的无理数包括圆周率π、自然常数e、以及大多数根号，如根号2、根号3等。在数轴上，无理数填补了有理数之间的空隙，使实数轴变得连续完整。
判断一个数是否为有理数有明确的步骤。首先检查是否为整数，所有整数都是有理数。然后检查是否能写成分数形式。对于小数，要看是有限小数还是无限小数。有限小数都是有理数，无限小数中，循环小数是有理数，不循环小数是无理数。通过这些步骤，我们可以准确判断任何数的性质。
现在让我们练习判断一个具体的数字集合。给定集合包含12、负四分之三、0.5、根号4、π、0.121212循环、根号2。逐一分析：12是整数，负四分之三是分数，0.5是有限小数，根号4等于2是整数，这四个都是有理数。而π是无限不循环小数，根号2也是无限不循环小数，它们是无理数。0.121212循环是循环小数，属于有理数。因此，有理数有五个，无理数有两个。
通过本次学习，我们全面了解了有理数和无理数的概念。有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括所有整数、分数、有限小数和循环小数。无理数则是无限不循环小数，如π、e和大部分根号。这些知识在数学、科学、工程等领域都有重要应用，是学习高等数学的重要基础。掌握它们的区别和判断方法，将为今后的数学学习打下坚实基础。