二次函数是数学中的重要函数类型，其标准形式为 y 等于 a x 平方加 b x 加 c，其中 a 不等于零。二次函数的图像是抛物线，具有对称性。除了标准形式，还有顶点式和交点式两种常用表示方法。
抛物线具有重要的几何性质。开口方向由二次项系数 a 决定：a 大于零时开口向上，a 小于零时开口向下。对称轴方程为 x 等于负 b 除以 2a。顶点是抛物线的最高点或最低点，坐标可以通过公式计算得出。
判别式是二次函数的重要概念，用 Δ 表示，等于 b 平方减去 4ac。判别式的值决定了二次方程根的情况。当 Δ 大于零时，抛物线与 x 轴有两个交点；当 Δ 等于零时，抛物线与 x 轴相切；当 Δ 小于零时，抛物线与 x 轴无交点。
二次函数的最值问题是重要应用。当二次项系数 a 大于零时，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值；当 a 小于零时，开口向下，在顶点处取得最大值。最值的计算公式为 4ac 减 b 平方，再除以 4a。这在实际问题中有广泛应用。
二次函数的图像变换包括平移、伸缩和翻折。通过改变顶点式中的参数，可以实现不同的变换效果。h 控制水平平移，k 控制竖直平移，a 的绝对值控制开口大小，a 的符号决定开口方向。掌握这些变换规律有助于快速绘制和分析二次函数图像。