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Monsky定理是组合几何中的一个深刻结果，由数学家Paul Monsky在1970年证明。该定理断言任何正方形都不能被分割成奇数个面积相等的三角形。这个看似简单的几何问题，实际上需要用到高深的数论工具，特别是2-adic赋值理论和组合数学中的Sperner引理。
证明Monsky定理的关键工具是2-adic赋值。对于任意有理数x，2-adic赋值v₂(x)定义为x中因子2的指数。例如，v₂(1)等于0，因为1不包含因子2；v₂(1/2)等于负1，因为1/2等于2的负1次方乘以1；v₂(4)等于2，因为4等于2的平方。这个概念将帮助我们分析三角形面积的性质。
为了应用Sperner引理，我们需要对正方形的顶点进行三色着色。着色规则基于坐标的2-adic赋值：如果v₂(x)小于等于v₂(y)且v₂(x)是偶数，则着色为0；如果v₂(x)小于等于v₂(y)且v₂(x)是奇数，则着色为1；如果v₂(y)小于v₂(x)，则着色为2。对于单位正方形的四个顶点，我们得到特定的着色模式。Sperner引理告诉我们，在这种着色下，三色三角形的个数必须是奇数。
现在我们分析三角形面积的2-adic赋值。三角形面积公式为A等于二分之一乘以行列式D的绝对值。因此v₂(A)等于负1加上v₂(D)。关键观察是：对于三色三角形，v₂(D)是偶数，所以v₂(A)是奇数；对于非三色三角形，v₂(D)是奇数，所以v₂(A)是偶数。由于分割中所有三角形面积相等，它们的v₂(A)必须相同。
现在我们完成矛盾推导。假设正方形被分割成n个面积相等的三角形，其中n为奇数。由于A等于1/n，所以v₂(A)等于负v₂(n)。因为n是奇数，v₂(n)等于0，这是偶数，所以v₂(A)为偶数。但是，根据Sperner引理，存在奇数个三色三角形。由于面积相等的要求，所有三角形都必须是三色的，因此v₂(A)应该是奇数。这产生了矛盾！因此，Monsky定理得到证明：正方形不能被分割成奇数个面积相等的三角形。