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微分和积分是微积分学的两大核心分支。微分研究函数在某一点的瞬时变化率，几何上表现为曲线的切线斜率。积分研究函数在某个区间的累积总量，几何上表现为曲线下的面积。这两个概念看似相反，实际上通过微积分基本定理紧密联系。
微分的核心概念是导数，它表示函数在某一点的瞬时变化率。导数的定义是当自变量的增量趋于零时，函数增量与自变量增量的比值的极限。几何上，导数就是曲线在该点的切线斜率。例如函数f(x)等于x的平方，它的导数是2x，表示在任意点x处的瞬时变化率。
积分的核心概念是求函数在某个区间上的累积总量。定积分可以理解为无穷多个无穷小矩形面积的和。几何上，积分表示曲线与坐标轴围成的面积。例如x平方的积分是x立方除以3加常数C。当我们增加分割的矩形数量时，近似面积越来越接近真实的积分值。
微积分基本定理揭示了微分和积分的深刻联系。第一部分说明，对导数进行积分会得到原函数的增量。第二部分说明，对积分函数求导会得到被积函数。这表明微分和积分互为逆运算。图中蓝色曲线是原函数，红色直线是它的导数，黄色区域表示积分。
微积分在各个领域都有广泛应用。在物理学中，位置函数的导数是速度，速度的导数是加速度。在工程学中用于优化设计和信号处理。在经济学中计算边际成本和利润最大化。在生物学中分析增长率和药物浓度变化。微积分已成为现代科学技术不可缺少的基础工具。