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分形理论研究具有自相似性的复杂几何形状。这些形状在任意尺度下都呈现相似的结构，并具有非整数的分形维数。科赫曲线是经典的分形例子，通过简单规则的反复迭代生成复杂的形状。
自相似性是分形的核心特征，指局部与整体在形状上相似。分形维数是非整数，量化了形状的复杂度。谢尔宾斯基三角形展示了这一特性，其分形维数约为1.585，介于一维线和二维面之间。
曼德博罗集是最著名的分形之一，通过复数迭代公式z等于z平方加c生成。集合的边界展现出无限复杂的分形结构，在任意放大倍数下都能看到新的细节和自相似的图案。
分形结构在自然界中无处不在。树木的分支、海岸线的曲折、山脉的轮廓、血管网络都展现出分形特征。这些自然分形虽然不如数学分形那样精确，但同样具有自相似性和复杂的层次结构。
分形理论在现代科技中有着广泛应用。在计算机图形学中用于生成逼真的自然景观，在图像压缩中利用自相似性提高效率，在金融领域分析市场波动，在医学中帮助诊断器官结构，在工程中设计高效的分形天线。分形理论已成为连接数学与实际应用的重要桥梁。