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勾股定理是数学中最重要的定理之一。它告诉我们，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这里我们看到一个经典的3-4-5直角三角形，其中3的平方加上4的平方等于5的平方，即9加16等于25。
勾股定理的数学表达式是a的平方加b的平方等于c的平方。这里a和b代表直角三角形的两条直角边，c代表斜边，也就是最长的那条边。以我们刚才的例子来说，3的平方加4的平方等于5的平方，也就是9加16等于25。
勾股定理可以通过面积法来证明。我们在直角三角形的每条边上构造正方形。以直角边a为边长的正方形面积是a的平方，以直角边b为边长的正方形面积是b的平方，以斜边c为边长的正方形面积是c的平方。通过几何推理可以证明，两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积。
满足勾股定理的三个正整数被称为勾股数。最著名的勾股数是3、4、5，因为3的平方加4的平方等于5的平方。其他常见的勾股数还有5、12、13，8、15、17，以及7、24、25等。这些数组在古代建筑和测量中有重要应用。
勾股定理在实际生活中有广泛应用。比如测量建筑物高度、检验建筑中的直角、导航定位等。例如，要测量一棵树的高度，我们可以测量从观察点到树底的水平距离d，以及从观察点到树顶的直线距离x，然后用勾股定理计算出树的高度h。勾股定理是连接数学理论与实际应用的重要桥梁。