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三角函数是数学中描述角度与直角三角形边长比例关系的重要函数。在直角三角形中，我们有角θ，对边b，邻边a，和斜边c。这些边长的比例关系构成了三角函数的基础定义。
基本的三角函数包括正弦、余弦和正切。正弦函数定义为对边除以斜边，余弦函数定义为邻边除以斜边，正切函数定义为对边除以邻边。这三个基本公式是所有三角函数计算的基础。
三角函数可以通过单位圆来理解。在单位圆中，角θ对应圆上的一点，其x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。当点沿着单位圆移动时，正弦和余弦值随之变化，展现出三角函数的连续性。
三角函数最重要的特性是周期性。正弦和余弦函数的周期都是2π，这意味着函数值每隔2π就会重复一次。从图像可以看出，正弦函数从0开始，在π/2达到最大值1，在π回到0，在3π/2达到最小值-1，最后在2π回到起点，然后开始下一个周期。
三角函数在现实世界中有广泛的应用。在物理学中用于描述波动和振动现象，在工程学中用于信号处理，在天文学中描述天体运动，在音乐中分析声波，在计算机图形学中处理图像。通过叠加不同频率的正弦波，可以合成复杂的波形，这是傅里叶分析的基础。