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微积分是数学中最重要的分支之一，它研究变化和累积。微积分包含两个核心部分：微分学研究函数的变化率，如曲线上某点的切线斜率；积分学研究累积量，如曲线下方的面积。这两个概念看似相反，实际上通过微积分基本定理紧密联系在一起。
极限是微积分的基础概念。它描述当自变量无限接近某个值时，函数值的趋近行为。例如，当x无限接近1时，函数f(x)等于x平方减1除以x减1的值无限接近2，尽管在x等于1处函数可能没有定义。这种'无限接近'的概念为我们理解连续性、导数和积分奠定了基础。
导数是微分学的核心概念，它描述函数在某点的瞬时变化率。几何上，导数表示曲线在该点的切线斜率。我们可以通过割线逼近切线来理解导数：当两点间距离无限缩小时，割线的斜率就趋近于切线斜率，这就是导数。在物理学中，如果函数表示位置，那么导数就是瞬时速度。
积分是微积分的另一个核心概念，用于计算累积量和面积。定积分表示函数曲线与x轴之间的面积。我们可以用矩形来逼近这个面积：将区间分成许多小段，每段用矩形近似，当矩形数量趋于无穷时，矩形面积之和就趋近于真实面积。这就是积分的几何意义。在物理中，积分可以由速度函数求出位移。
微积分基本定理是整个微积分中最重要的定理，它揭示了微分和积分之间的深刻联系。定理表明，如果F是f的原函数，那么f在区间a到b上的定积分等于F在b处的值减去F在a处的值。这意味着求导和积分是互逆的运算。这个定理不仅简化了定积分的计算，更重要的是建立了变化率与累积量之间的桥梁，是现代科学技术的数学基础。