勾股定理，也称为毕达哥拉斯定理，是几何学中最重要的定理之一。它描述了直角三角形中三边的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方。用数学公式表示就是 a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方。
勾股定理有多种证明方法，这里展示经典的面积证明法。我们构造一个边长为 a 加 b 的大正方形，内部包含四个相同的直角三角形和一个边长为 c 的小正方形。大正方形的面积等于小正方形面积加上四个三角形面积，通过面积相等关系可以推导出勾股定理。
让我们通过一个基础例题来练习勾股定理的应用。题目：在直角三角形中，已知直角边 a 等于 3，直角边 b 等于 4，求斜边 c 的长度。根据勾股定理，c 的平方等于 a 的平方加 b 的平方，即 c 的平方等于 9 加 16 等于 25，所以 c 等于 5。
现在我们来看一个实际应用问题：梯子问题。一架梯子长10米，底端距离墙面6米，求梯子顶端到达的高度。这是一个典型的直角三角形问题。设高度为 h，根据勾股定理，h 的平方加 6 的平方等于 10 的平方，计算得出 h 的平方等于 64，所以 h 等于 8 米。
勾股定理是数学中最著名的定理之一，它描述了直角三角形三条边之间的关系。定理表述为：在直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方，即 a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方。
勾股定理有多种证明方法，这里展示几何证明。我们将四个相同的直角三角形拼成一个大正方形。大正方形的面积等于边长 a 加 b 的平方，也等于中心小正方形面积加上四个三角形面积。通过面积相等，我们可以证明勾股定理。
勾股数是满足勾股定理的正整数组合。最著名的是三四五直角三角形，其中三的平方加四的平方等于五的平方。其他常见的勾股数还有五十二十三，八十五十七等。这些整数组合在建筑、工程等实际应用中非常有用。
让我们通过一个实际例题来应用勾股定理。一个五米长的梯子靠在墙上，梯子底端距离墙根三米，求梯子顶端的高度。设高度为 h，根据勾股定理，三的平方加 h 的平方等于五的平方，即九加 h 的平方等于二十五，所以 h 的平方等于十六，因此 h 等于四米。
勾股定理在现代生活中有着广泛的应用。在建筑工程中，工程师使用勾股定理测量建筑物的高度和距离。在导航系统中，它帮助计算两点间的最短路径。在计算机图形学中，用于计算像素间的距离。物理学中用于力的分解与合成，天文学中用于测量星体距离。勾股定理是连接几何与代数的重要桥梁。