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基变换是线性代数中的核心概念。在向量空间中，我们可以选择不同的基来表示同一个向量。图中蓝色箭头表示标准基，红色箭头表示新的基，黄色箭头是我们要表示的向量。基变换就是研究如何在这些不同基之间转换向量的坐标表示。
过渡矩阵P是基变换的核心工具。它的每一列都是新基向量在旧基下的坐标表示。例如，新基c₁可以表示为1倍的e₁加上1倍的e₂，新基c₂可以表示为0.5倍的e₁加上1.5倍的e₂。因此过渡矩阵P的第一列是[1,1]，第二列是[0.5,1.5]。
坐标变换公式是基变换的核心应用。公式[v]_{B₁} = P [v]_{B₂}告诉我们如何将向量在新基下的坐标转换为在旧基下的坐标。例如，向量v在新基下的坐标是[2,1]，通过过渡矩阵P计算得到在旧基下的坐标是[2.5,3.5]。这个公式建立了不同基之间坐标表示的桥梁。
逆变换使用逆矩阵P的负一次方，实现从旧基坐标到新基坐标的转换。如果P是从新基到旧基的过渡矩阵，那么P的逆矩阵就是从旧基到新基的过渡矩阵。通过计算矩阵的逆，我们可以实现双向的坐标变换，这在实际应用中非常重要。
基变换在许多领域都有重要应用。在矩阵对角化中，通过选择合适的基，可以将复杂的矩阵转换为对角矩阵，大大简化计算。在计算机图形学中，基变换用于坐标系转换和图形变换。在量子力学中，不同的基对应不同的物理量测量。基变换为我们提供了从不同角度理解和解决问题的强大工具。