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同学们好！今天我们来学习三角函数。三角函数是数学中非常重要的概念，它描述了直角三角形中角度与边长之间的关系。在这个直角三角形中，我们有角θ，以及相对于这个角的对边、邻边和斜边。三角函数就是用来表示这些边长比例的工具。
三角函数有三个基本函数：正弦、余弦和正切。正弦函数等于对边除以斜边，余弦函数等于邻边除以斜边，正切函数等于对边除以邻边。这些比值只取决于角度的大小，与三角形的实际尺寸无关。让我们通过高亮显示相应的边来理解这些定义。
三角函数还可以通过单位圆来理解。单位圆是半径为1的圆。当我们在圆上取一点时，这个点的x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。随着角度的变化，点在圆上移动，三角函数值也随之变化。这种定义方式让我们可以处理任意大小的角度。
三角函数的图像展现了它们的周期性特征。正弦函数的图像是一条平滑的波浪线，从零开始，在π/2处达到最大值1，在π处回到零，在3π/2处达到最小值负1，最后在2π处回到零。余弦函数的图像形状相似，但比正弦函数提前了π/2的相位。两个函数的周期都是2π，值域都在负1到1之间。
三角函数在现实生活中有广泛的应用。比如测量建筑物的高度，我们可以站在一定距离外，测量仰角，然后用正切函数计算高度。在物理学中，三角函数描述波动和振动现象。在工程学中用于分析周期性运动。在现代科技中，从信号处理到计算机图形学，三角函数都发挥着重要作用。这就是为什么三角函数是数学中如此重要的工具。