视频字幕
马尔科夫链是一种重要的随机过程模型，它的核心特点是无记忆性。这意味着系统的下一个状态只取决于当前状态，而与过去的历史状态无关。图中展示了一个简单的三状态马尔科夫链，状态之间通过转移概率相连。
让我们通过一个具体的天气预测例子来理解马尔科夫链。假设天气只有晴天和雨天两种状态。根据历史数据，我们可以得到状态转移概率：如果今天是晴天，明天仍是晴天的概率是0.8，下雨的概率是0.2。如果今天下雨，明天转晴的概率是0.6，继续下雨的概率是0.4。
马尔科夫链可以用转移概率矩阵来表示。矩阵的每个元素P(i,j)表示从状态i转移到状态j的概率。在我们的天气例子中，第一行表示晴天转移到各状态的概率，第二行表示雨天转移到各状态的概率。注意每行元素之和都等于1，这保证了概率的完备性。
马尔科夫链的一个重要概念是平稳分布，它表示系统经过足够长时间后各状态的稳定概率。通过求解方程π等于π乘以P，我们可以得到平稳分布。在天气例子中，长期来看晴天概率趋向于0.75，雨天概率趋向于0.25。让我们看看从初始状态开始的收敛过程。
马尔科夫链作为一个强大的数学工具，在现代科技和研究中有着广泛的应用。在自然语言处理中用于文本生成，在搜索引擎中实现PageRank算法，在金融领域进行风险建模，在生物信息学中分析基因序列，在人工智能中构建决策系统。这些应用都体现了马尔科夫链简化复杂随机过程的强大能力。