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在三角形中，任意两个角的角平分线相交于一点，这个点称为三角形的内心。我们要证明连接第三个角与内心的直线也是该角的角平分线。让我们看看三角形ABC，其中角A和角B的角平分线相交于点I。
角平分线有一个重要性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等。反过来，如果一个点到角的两边距离相等，那么这个点必定在角平分线上。在图中，点I在角A的平分线上，所以点I到边AB和边AC的距离都等于d。
现在开始证明。由于点I在角A的角平分线上，所以I到边AB和AC的距离相等，设为r。同样，由于点I在角B的角平分线上，所以I到边BA和BC的距离也相等。注意BA就是AB，因此I到AB、BC的距离都等于r。综合起来，点I到三角形的三边AB、BC、AC的距离都等于r。
现在我们可以完成证明了。由于点I到角C的两边AC和BC的距离都等于r，根据角平分线性质的逆定理，到角的两边距离相等的点必定在该角的角平分线上。因此，点I必定在角C的角平分线上，也就是说，连接C和I的直线就是角C的角平分线。证明完毕。
总结一下，我们证明了三角形的一个重要定理：任意两个角的角平分线相交于一点，这个点称为三角形的内心，连接第三个角与内心的直线也必定是该角的角平分线。内心是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离都相等。这个定理在几何学中有重要应用。