视频字幕
圆周率π是数学中最重要的常数之一，它表示圆的周长与直径的比值。这个神秘的数字在人类历史上经历了漫长的推导过程，从古代的几何方法到现代的计算机算法，体现了人类对数学真理不懈追求的精神。
阿基米德在公元前250年发明了著名的割圆术。他的核心思想是用正多边形来逼近圆形。从正六边形开始，不断将边数加倍，计算内接和外切正多边形的周长。随着边数增加，多边形越来越接近圆形，其周长也越来越接近圆的周长。通过这种方法，阿基米德计算到96边形，得出了π的精确范围。
17世纪微积分诞生后，数学家们发现了用无穷级数精确表示π的方法。最著名的是莱布尼茨公式，虽然形式简洁优美，但收敛速度很慢。马青公式利用反正切函数，收敛速度快得多，曾被用于手工计算π的数百位小数。这些级数公式为现代高精度计算π奠定了理论基础。
蒙特卡罗方法是一种基于随机数和概率统计的现代方法。在边长为2的正方形内画一个内切圆，然后随机投掷大量点。根据几何概率，落在圆内的点数与总点数的比例等于圆面积与正方形面积的比例。通过这个关系可以估算出π的值。虽然这种方法概念简单直观，但收敛速度较慢，主要用于教学演示。
现代计算机时代，数学家们开发出了极其高效的π计算算法。AGM算法和Chudnovsky算法等方法收敛速度惊人，每一步计算都能使精度成倍增长。从阿基米德的3位精度，到祖冲之的7位，再到现代超级计算机的100万亿位，π的计算精度不断刷新记录。这一历程完美展现了人类从古代几何直觉到现代计算科学的智慧发展轨迹。