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我们来分析函数f(x)等于ln x加ax平方减去2a加1倍x的单调性。首先求导数，f'(x)等于1/x加2ax减去2a加1。通分后得到分子为2ax平方减去2a加1倍x加1，分母为x。
现在对分子进行因式分解。设2ax平方减去2a加1倍x加1等于0，使用求根公式得到判别式为2a减1的平方。解得两根为1除以2a和1。因此分子可以分解为2a乘以x减去1除以2a乘以x减1。
现在讨论函数的单调性。当a大于0时，1除以2a小于1，导数在0到1除以2a上大于0函数递增，在1除以2a到1上小于0函数递减，在1到正无穷上大于0函数递增。当a小于0时，1除以2a小于0，导数在0到1上小于0函数递减，在1到正无穷上大于0函数递增。
现在分析零点存在性。要使函数在区间0到e上有且仅有一个零点，我们需要分析边界值。f(1)等于负a减1，f(e)等于1加ae平方减去2a加1倍e。当a等于负1时，f(1)等于0，此时函数在x等于1处有零点。
综合以上分析，我们得到最终答案。对于单调性，当a大于0时函数有三个单调区间，当a小于0时函数有两个单调区间。对于零点问题，要使函数在区间0到e上有且仅有一个零点，a的取值为负1。当a等于负1时，函数f(x)等于ln x减x平方加x，在区间内确实只有一个零点x等于1。