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迴歸分析是統計學中的重要工具，用於研究兩個或多個變量之間的關係。它幫助我們理解自變量如何影響因變量，並建立數學模型來進行預測。圖中顯示了典型的線性迴歸，紅線代表最佳擬合線，描述了X和Y之間的線性關係。
線性迴歸模型是最基本的迴歸分析形式。模型公式為Y等於β₀加β₁乘以X再加誤差項ε。其中β₀是截距項，表示當X為零時Y的期望值；β₁是迴歸係數，表示X每增加一個單位時Y的平均變化量。誤差項ε代表模型無法解釋的隨機變異。
最小二乘法是估計迴歸係數最常用的方法。它的基本思想是找到一條直線，使得所有數據點到這條直線的垂直距離的平方和最小。這些垂直距離稱為殘差，代表實際觀測值與模型預測值之間的差異。通過最小化殘差平方和，我們可以得到最佳的迴歸係數估計值。
多元線性迴歸擴展了簡單線性迴歸，允許我們同時考慮多個自變量對因變量的影響。模型形式為Y等於β₀加上各個自變量與其係數的乘積之和。這種方法的優點是能夠控制其他變量的影響，提高預測的準確性。例如預測房價時，我們可以同時考慮面積、地段、樓層等多個因素。
迴歸分析是統計學中的一個重要概念，用來分析兩個或多個變量之間的關係。它可以幫助我們理解一個變量如何影響另一個變量，並建立數學模型來進行預測。圖中的散點圖顯示了兩個變量的關係，紅線是迴歸線，表示變量間的整體趨勢。
迴歸分析涉及幾個重要概念。自變量X是用來預測或解釋的變量，因變量Y是我們想要預測的目標變量。迴歸方程的一般形式是Y等於a加上b乘以X再加上誤差項。其中a是截距，表示當X為零時Y的值；b是斜率或迴歸係數，表示X每增加一個單位，Y的變化量；誤差項代表模型無法解釋的隨機變化。
線性迴歸是迴歸分析中最基本也最常用的方法。它假設自變量和因變量之間存在線性關係。線性迴歸的目標是找到一條最佳擬合直線，使得所有數據點到這條直線的距離平方和最小。圖中藍色點是觀測數據，紅色線是迴歸線，灰色虛線表示每個點的預測誤差。
進行迴歸分析通常包含六個基本步驟。首先是數據收集與整理，確保數據的完整性和準確性。接著進行探索性數據分析，了解變量的分布和相關性。第三步是選擇合適的迴歸模型，可能是線性或非線性。然後估計模型參數，通常使用最小二乘法。第五步是模型診斷與檢驗，評估模型的適合度和假設條件。最後將模型應用於實際預測和決策。
迴歸分析在各個領域都有廣泛的應用。在商業領域，它可以用於銷售預測和市場分析；在醫學研究中，可以分析治療效果和疾病風險因素；在金融領域，可以進行投資風險評估和股價預測。迴歸分析作為一種強大的統計工具，幫助我們從數據中發現規律，做出科學的預測和決策。