视频字幕
柯西不等式虽然在高中才系统学习，但在初中数学中已有重要应用。其基本形式是：a平方加b平方乘以c平方加d平方，大于等于ac加bd的平方。在初中阶段，它主要用于解决约束条件下的最值问题，比如已知3x加4y等于6，求x平方加y平方的最小值。
我们来看一个具体例题。已知3x加4y等于6，求x平方加y平方的最小值。应用柯西不等式：3的平方加4的平方，乘以x平方加y平方，大于等于3x加4y的平方。即25倍的x平方加y平方大于等于36。所以x平方加y平方大于等于36除以25。当x除以3等于y除以4时取等号，最小值为36分之25。
从几何角度看，这个问题等价于在直线3x加4y等于6上找到距离原点最近的点。原点到直线的最短距离就是垂直距离，其值为6除以5。这个几何解释帮助我们直观理解柯西不等式在最值问题中的应用。
柯西不等式还可以用来证明其他不等式。例如证明a平方加b平方大于等于2ab。我们应用柯西不等式：a平方加b平方乘以1平方加1平方，大于等于a乘1加b乘1的平方。即2倍的a平方加b平方大于等于a加b的平方。展开右边得到a平方加2ab加b平方，整理后得到a平方加b平方大于等于2ab。当a等于b时取等号。
总结一下，柯西不等式在初中数学中主要有四个应用方面：约束条件下的最值问题、几何距离的最值、证明简单不等式，以及为高中学习做铺垫。掌握柯西不等式的关键要点包括：熟记基本形式，注意取等条件，学会构造合适的系数，并结合几何直观来理解。柯西不等式为我们提供了解决特定数学问题的新视角和强有力的工具。