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抽象代数是现代数学的重要分支，研究代数结构的一般理论。它包括群、环、域等基本概念。群是最基础的代数结构，由一个集合和满足四个公理的二元运算组成：封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
置换表示是群论中的重要概念，它将抽象的群元素解释为集合上的置换。对称群S₃包含3个元素的所有排列，共有6个元素。每个置换可以用矩阵形式表示，上行是原位置，下行是映射后的位置。
轮换记号是表示置换的简洁方法。轮换(a₁ a₂ ... aₖ)表示循环映射，即a₁映射到a₂，a₂映射到a₃，最后aₖ映射回a₁。任意置换都可以唯一地分解为不相交轮换的乘积。这种记号大大简化了置换的计算和理解。
置换的奇偶性是重要概念，将置换分为偶置换和奇置换。判定方法有两种：计算逆序数的奇偶性，或使用轮换分解。长度为k的轮换，其奇偶性为负一的k减一次方。符号函数将偶置换映射为1，奇置换映射为负1。
交错群A_n由对称群S_n中所有偶置换构成，是S_n的正规子群，阶数为n的阶乘除以2。当n大于等于5时，A_n是非阿贝尔单群，这个性质在伽罗瓦理论中起关键作用，解释了为什么五次及以上方程没有求根公式。交错群描述了几何对象的纯旋转对称性。