视频字幕
抽象代数是现代数学的重要分支,研究代数结构的一般理论。它包括群、环、域等基本概念。群是最基础的代数结构,由一个集合和满足四个公理的二元运算组成:封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
置换表示是群论中的重要概念,它将抽象的群元素解释为集合上的置换。对称群S₃包含3个元素的所有排列,共有6个元素。每个置换可以用矩阵形式表示,上行是原位置,下行是映射后的位置。
轮换记号是表示置换的简洁方法。轮换(a₁ a₂ ... aₖ)表示循环映射,即a₁映射到a₂,a₂映射到a₃,最后aₖ映射回a₁。任意置换都可以唯一地分解为不相交轮换的乘积。这种记号大大简化了置换的计算和理解。
置换的奇偶性是重要概念,将置换分为偶置换和奇置换。判定方法有两种:计算逆序数的奇偶性,或使用轮换分解。长度为k的轮换,其奇偶性为负一的k减一次方。符号函数将偶置换映射为1,奇置换映射为负1。
交错群A_n由对称群S_n中所有偶置换构成,是S_n的正规子群,阶数为n的阶乘除以2。当n大于等于5时,A_n是非阿贝尔单群,这个性质在伽罗瓦理论中起关键作用,解释了为什么五次及以上方程没有求根公式。交错群描述了几何对象的纯旋转对称性。