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我们要推导圆柱表面上任意两点间的最短距离公式。首先建立问题的几何模型：一个圆柱体，表面上有两个点A和B。我们的目标是找到连接这两点的最短路径长度。
首先建立圆柱的参数坐标系。设圆柱半径为r，两点A和B分别位于角度θ₁和θ₂，高度z₁和z₂处。这样我们就可以用三个参数来描述圆柱表面上的任意一点。
解决这个问题的关键是将圆柱表面展开为平面。展开后，原来圆周上的弧长变成直线距离，两点之间的最短距离就是展开平面上的直线距离。点A和B在展开后的坐标分别为(rθ₁, z₁)和(rθ₂, z₂)。
现在我们推导距离公式。首先在展开的平面上应用勾股定理，得到距离的平方等于水平方向差的平方加上垂直方向差的平方。然后提取公因子r，并注意到当角度差大于π时，应该选择较短的弧。最终得到完整的距离公式。
让我们验证公式的正确性。对于特殊情况，当两点在同一高度时，公式简化为弧长公式；当两点在同一母线上时，距离就是高度差。图中展示了一个具体例子，两点角度相差π，高度相差1个单位，计算得到的最短距离约为3.32个单位。
首先建立圆柱的参数坐标系。设圆柱半径为r，两点A和B分别位于角度θ₁和θ₂，高度z₁和z₂处。这样我们就可以用三个参数来描述圆柱表面上的任意一点。
解决这个问题的关键是将圆柱表面展开为平面。展开后，原来圆周上的弧长变成直线距离，两点之间的最短距离就是展开平面上的直线距离。点A和B在展开后的坐标分别为(rθ₁, z₁)和(rθ₂, z₂)。
现在我们推导距离公式。首先在展开的平面上应用勾股定理，得到距离的平方等于水平方向差的平方加上垂直方向差的平方。然后提取公因子r，并注意到当角度差大于π时，应该选择较短的弧。最终得到完整的距离公式。