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角平分线定理是三角形几何中的重要定理。它指出：在三角形ABC中，如果AD是角A的角平分线，那么角平分线将对边BC分成的两段BD和DC，与角A的两边AB和AC成比例关系。
角平分线定理的数学表达式为：BD比DC等于AB比AC。这个比例关系说明，角平分线将对边分成的两段长度比，等于夹这个角的两边长度比。我们来看图中的各个线段如何对应这个公式。
角平分线定理在几何学中有广泛应用。例如，当我们知道三角形两边的长度比时，可以利用角平分线定理求出对边被分割的比例。如图所示，若AB比AC等于3比4，那么BD比DC也等于3比4。这个定理在证明几何关系和解决实际问题中都非常有用。
角平分线定理的数学表达式为：BD比DC等于AB比AC。这个比例关系说明，角平分线将对边分成的两段长度比，等于夹这个角的两边长度比。我们来看图中的各个线段如何对应这个公式。
用户提供的公式AC比AB等于DC比BD，是角平分线定理的等价形式。通过交叉相乘或倒数变换，我们可以从标准形式BD比DC等于AB比AC，推导出这个等价形式。两个公式表达的是同一个几何关系，只是写法不同。
让我们用具体数值来验证角平分线定理。假设AB等于6，AC等于9，根据角平分线定理，BD比DC应该等于AB比AC，即6比9，也就是2比3。如果BC总长为10，那么BD等于4，DC等于6。验证用户的公式：AC比AB等于9比6等于3比2，DC比BD等于6比4也等于3比2，两个比值相等，验证了定理的正确性。
总结一下，角平分线定理有两种等价的表达形式：标准形式BD比DC等于AB比AC，以及用户提到的等价形式AC比AB等于DC比BD。这个定理在几何证明、相似三角形、比例计算和工程测量等领域都有重要应用。角平分线定理是几何学中的基础定理，具有重要的理论和实用价值。