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C¹函数是数学分析中的重要概念。它指的是在定义域内不仅可导，而且导函数连续的函数。这意味着函数不仅在每一点都有切线，而且切线的斜率变化是平滑的，没有突然的跳跃。
要成为C¹函数，必须同时满足两个条件。首先，函数在定义域内的每一点都必须可导，也就是说导数存在。其次，这个导函数本身必须是连续的，不能有跳跃或间断点。图中绿色曲线是原函数，蓝色曲线是它的导函数，可以看到导函数是连续的。
并不是所有函数都是C¹函数。最典型的例子是绝对值函数。虽然绝对值函数在除了零点以外的所有地方都可导，但在x等于零的地方，左导数是负一，右导数是正一，导数不存在，因此不满足C¹函数的第一个条件。图中黄色圆圈标出了这个关键的不可导点。
许多我们熟悉的函数都是C¹函数。多项式函数在整个实数域上都是C¹函数，因为它们的导数也是多项式，自然连续。指数函数e的x次方也是C¹函数，它的导数就是自己。三角函数如正弦和余弦函数也是C¹函数。对数函数在其定义域内也是C¹函数。这些函数的共同特点是既可导又导数连续。
C¹函数在数学和应用科学中具有重要地位。在微分方程理论中，解的存在性和唯一性往往要求函数具有C¹性质。在优化问题中，C¹函数保证了梯度的连续性，使得优化算法能够稳定收敛。在物理学中，许多物理量的连续性要求对应的数学模型必须是C¹函数。总之，C¹函数既可导又导数连续，是分析学中的基础概念。