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这是一个关于重复抽取的概率期望问题。我们有一个箱子，里面装着5个相同的球，分别标号为1到5。现在要从中重复抽取三次，每次抽取后都放回。我们需要求出至少取到一次的球的个数X的数学期望。
首先分析这个问题。随机变量X表示三次重复抽取中至少取到一次的球的个数。由于有5个球，X的可能取值为1、2、3。总的样本空间大小为5的3次方等于125种不同的抽取结果。我们需要分别计算X等于1、2、3时的概率。
现在计算各个概率值。当X等于1时，表示三次抽取都取到同一个球，有5种可能的结果，所以P(X=1)等于5除以125，等于1/25。当X等于3时，表示三次抽取取到三个不同的球，第一次有5种选择，第二次有4种选择，第三次有3种选择，共60种结果，所以P(X=3)等于60/125，等于12/25。P(X=2)可以用总概率1减去其他两个概率得到，也等于12/25。
现在计算数学期望。根据数学期望的定义，E(X)等于各个取值乘以对应概率的和。将我们计算出的概率代入公式：E(X)等于1乘以1/25，加上2乘以12/25，加上3乘以12/25。计算得到1/25加24/25加36/25，等于61/25。因此，数学期望E(X)的答案是61/25。
我们可以用指示变量法来验证这个结果。设I_i为指示变量，当球i在三次抽取中至少被抽到一次时I_i等于1，否则等于0。那么X等于所有指示变量的和。由于期望的线性性质，E(X)等于5倍的E(I_1)。球i至少被抽到一次的概率等于1减去三次都没抽到的概率，即1减去4/5的3次方，等于61/125。因此E(X)等于5乘以61/125，等于61/25。两种方法得到相同结果，验证了我们的答案是正确的。