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在数学中，我们经常需要展开代数表达式。比如，我们知道：(a+b)的1次方等于a+b，(a+b)的2次方等于a²+2ab+b²，(a+b)的3次方等于a³+3a²b+3ab²+b³。观察这些展开式，我们发现了规律：展开后是若干项的和，每一项中a的幂次逐渐降低，b的幂次逐渐升高，且幂次之和总是等于原表达式的总幂次。如果幂次很高，一项一项地乘开就太麻烦了。有没有通用的方法呢？
答案是肯定的！这就是二项式定理。二项式定理告诉我们：(a+b)的n次方的展开式等于从k等于0到n的求和，每一项是组合数C(n,k)乘以a的n-k次方乘以b的k次方。让我们分解这个公式：求和符号表示从k等于0一直到k等于n，这意味着展开式共有n+1项。C(n,k)读作"n选k"，它是组合数，计算方法是n的阶乘除以k的阶乘乘以n-k的阶乘。当k从0增加到n时，a的幂次从n递减到0，b的幂次从0递增到n。注意每一项中a和b的幂次之和总是等于n。
好，我们用一个基础例题来试试。例题一：展开(x+2)的4次方。在这里，我们的a等于x，b等于2，n等于4。根据公式，展开式是各项的和，k从0取到4。当k等于0时，组合数4选0乘以x的4次方乘以2的0次方，等于1乘以x的4次方乘以1，等于x的4次方。当k等于1时，组合数4选1乘以x的3次方乘以2的1次方，等于4乘以x的3次方乘以2，等于8x的3次方。当k等于2时，组合数4选2乘以x的2次方乘以2的2次方，等于6乘以x的2次方乘以4，等于24x的2次方。当k等于3时，组合数4选3乘以x的1次方乘以2的3次方，等于4乘以x乘以8，等于32x。当k等于4时，组合数4选4乘以x的0次方乘以2的4次方，等于1乘以1乘以16，等于16。所以，(x+2)的4次方等于x的4次方加8x的3次方加24x的2次方加32x加16。
再来看一个变式问题，如果项里面有负号或者系数呢？变式问题：展开(2x-y)的3次方。这次，我们的a等于2x，b等于负y，n等于3。注意，要把负号也包含在b里面。根据公式，展开式是各项的和，k从0取到3。当k等于0时，组合数3选0乘以(2x)的3次方乘以(-y)的0次方，等于1乘以8x的3次方乘以1，等于8x的3次方。当k等于1时，组合数3选1乘以(2x)的2次方乘以(-y)的1次方，等于3乘以4x的2次方乘以负y，等于负12x的2次方y。当k等于2时，组合数3选2乘以(2x)的1次方乘以(-y)的2次方，等于3乘以2x乘以y的2次方，等于6xy的2次方。当k等于3时，组合数3选3乘以(2x)的0次方乘以(-y)的3次方，等于1乘以1乘以负y的3次方，等于负y的3次方。所以，(2x-y)的3次方等于8x的3次方减12x的2次方y加6xy的2次方减y的3次方。
通过这两个例子，我们可以看到，掌握了二项式定理的公式，无论幂次是几，我们都可以系统地展开二项式。关键在于正确识别a、b和n，并计算出每一项的系数和幂次。二项式定理是代数中的重要工具，希望大家能够熟练掌握和应用。