解答下该多选题，并且要有配音---Question Stem: 1. 已知△ABC的面积为 $\frac{1}{4}$, 若 $\cos 2A + \cos 2B + 2\sin C = 2$, $\cos A \cos B \sin C = \frac{1}{4}$, 则 Options: A. $\sin C = \sin^2 A + \sin^2 B$ B. $AB = \sqrt{2}$ C. $\sin A + \sin B = \frac{\sqrt{6}}{2}$ D. $AC^2 + BC^2 = 3$

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这是一道关于三角形的多选题。已知三角形ABC的面积为四分之一，并给出两个条件：第一个是余弦二倍角和正弦的关系式，第二个是三个角的余弦和正弦的乘积关系。我们需要逐一验证四个选项的正误。 现在我们来验证选项A。首先化简第一个方程。利用二倍角公式，余弦二倍角等于一减去二倍正弦平方。将公式代入原方程，得到一减去二倍正弦平方A，加上一减去二倍正弦平方B，再加上二倍正弦C等于二。化简后得到二减去二倍正弦平方A减去二倍正弦平方B加上二倍正弦C等于二。最终得到正弦C等于正弦平方A加上正弦平方B。因此选项A是正确的。 接下来我们通过联立方程组来求解。利用三角形内角和等于π的性质，以及积化和差公式，经过复杂的代数运算，我们可以得到角C等于π/2，这意味着三角形ABC是一个直角三角形。由于C是直角，我们可以利用面积公式，面积等于二分之一乘以a乘以b乘以正弦C等于四分之一，得到ab等于二分之一。结合正弦定理和已知条件，最终求得AB等于根号2。因此选项B也是正确的。 现在验证选项C。我们需要计算正弦A加正弦B的值。利用和差化积公式，正弦A加正弦B等于二倍正弦A加B的一半乘以余弦A减B的一半。我们已经知道A加B等于π/2，余弦A减B等于1/2。所以A加B的一半等于π/4。利用半角公式，从余弦A减B等于1/2可以求得余弦A减B的一半等于√3/2。将这些值代入公式，得到正弦A加正弦B等于二倍√2/2乘以√3/2，最终结果是√6/2。因此选项C也是正确的。 最后验证选项D。由于我们已经确定角C等于π/2，三角形ABC是直角三角形。根据勾股定理，a的平方加b的平方等于c的平方。我们已经求得c的平方等于2，所以a的平方加b的平方也等于2。但是选项D说AC的平方加BC的平方等于3，这与我们的计算结果不符，因此选项D是错误的。综合以上分析，选项A、B、C都是正确的，只有选项D是错误的。所以这道多选题的正确答案是A、B、C。