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费马定理是数学史上最著名的定理之一。当我们提到费马定理时，通常指代两个重要的数学定理：费马大定理和费马小定理。这两个定理都是由17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的，在数学发展史上具有重要意义。
费马大定理是数学史上最著名的猜想之一。它表述为：当整数n大于2时，关于x、y、z的方程x的n次方加y的n次方等于z的n次方没有正整数解。当n等于2时，这就是勾股定理，有无穷多个解，比如3的平方加4的平方等于5的平方。但当n大于2时，就找不到任何正整数解了。这个定理困扰了数学家358年，直到1995年才被英国数学家安德鲁·怀尔斯成功证明。
费马小定理是另一个重要的费马定理。它表述为：如果p是一个质数，a是一个整数，那么a的p次方减去a是p的倍数。用同余式表示就是a的p次方同余于a模p。如果a不是p的倍数，则有a的p减1次方同余于1模p。例如，当p等于5，a等于2时，2的5次方等于32，32除以5余2，所以32同余于2模5。同样，2的4次方等于16，16除以5余1，所以16同余于1模5。这个定理在现代密码学中有重要应用。
费马小定理在现代数学和计算机科学中有着广泛的应用。它是RSA加密算法的重要理论基础，也被用于素性测试算法和模运算的简化计算。在密码学中，费马小定理为公钥加密提供了数学保障。例如在RSA加密中，我们选择两个质数p和q，计算它们的乘积n，然后利用费马小定理的性质来构造公钥和私钥。这种基于数论的加密方法保证了信息传输的安全性。
费马定理在数学史上具有重要的历史意义。费马大定理作为困扰数学家358年的世纪难题，不仅推动了代数数论的发展，怀尔斯在1995年完成的证明更是数学史上的重要里程碑。费马小定理则是数论的基础定理之一，成为现代密码学的理论基石和计算机科学的重要工具。这两个定理都体现了数学既有深刻的理论价值，又有广泛的实际应用。费马定理的研究推动了椭圆曲线理论、模形式理论等多个数学领域的发展，展现了数学的统一性和美妙性。