根据附件图片内容，讲解“用托勒密定理解这个题目”---**Extraction Content:** **Question Stem:** ∠A = 120°, BC = 3, 求 ΔABC 周长最大值 **Diagram Description:** Type: Geometric figure (Triangle). Main Elements: - Vertices: Labeled A, B, C. - Angle: Angle at vertex A is labeled as 120 degrees. - Side: Side BC is labeled with length 3. - Lines: Straight lines forming the sides AB, BC, and AC of the triangle. The triangle is depicted with angle A being obtuse. **Other Relevant Text:** 要解决 ΔABC 中 ∠A=120°, BC=3, 求周长最大值的问题 (不用正弦定理), 我们可以通过几何构造将问题转化为线段最值问题, 核心思路是把 AB+AC 拼成一条线段, 再利用圆的性质找最值点. 不用正弦定理纯几何构造法: 一句话说清核心思路——把 AB+AC “搬”成一条线段, 再找圆上最远点! 核心目标: 求 AB + AC 的最大值 (周长 = AB + AC + 3, BC=3固定) 第一步: 造圆内接四边形——让托勒密定理“能用得上” 已知 ∠A = 120°, BC = 3. 根据“弦定角”, 点 A 在以 BC 为弦的优弧 BC 上 (所有满足 ∠BAC = 120°的点都在这条弧上). 操作: 以优弧 BC 为基础, 在弧上再取一点 A', 使 AA' = AC, 连接 A'B, A'C (构造对称, 方便后续用托勒密定理). 关键: 此时 ABCA' 四点共圆 (都在优弧 BC 上), 可直接用托勒密定理! 第二步: 用托勒密定理建立等式——把 AB + AC 绑在对角线上 托勒密定理: 圆内接四边形对角线乘积 = 两组对边乘积之和. 在圆内接四边形 ABCA' 中: * 对角线: AC 和 BA' * 对边: AB 与 A'C, BC 与 AA' 根据托勒密定理: AC × BA' = AB × A'C + BC × AA' 简化条件: * 因 AA' = AC (构造时故意取等长), 且 ∠A = ∠A' = 120° (同弧所对圆周角相等), 所以 ΔABC 和 ΔA'BC 关于 BC 对称, 故 AC = AB (对称性质). * 代入上式: AC × BA' = AB × AB + BC × AC. AC × BA' = AB² + AC × 3 (BC = 3) 目标转化: 我们要凑 AB + AC. 设 AB = x, AC = y, 则上式变为: y × BA' = x² + 3y $\Rightarrow$ BA' = $\frac{x^2}{y}$ + 3 第三步: 找最大值——当 BA' 为直径时最长! 在圆中, 直径是最长的弦! 当 BA' 是优弧 BC 所在圆的直径时, BA' 达到最大值, 此时 AB + AC 也最大. 此时特殊位置: * BA' 为直径, 所以 ∠BCA' = 90° (直径所对圆周角是直角). * 因对称性, 此时 AB = AC (A为优弧中点), 即 x = y. 用 30°直角三角形边长: * ∠BAC = ∠BAC = 120° (同弧所对圆周角), 但 ∠BCA' = 90°, 所以在 Rt△BCA' 中, ∠A'BC = 30° (三角形内角和). * BC = 3 是 30°角 (∠A'BC) 的对边, 斜边 BA' 是直径. 根据"30°直角三角形中, 斜边 = 斜边 × $\frac{\sqrt{3}}{2}$": 3 = BA' × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow$ BA' = 2$\sqrt{3}$ 回代求 AB + AC: 因 x = y, 且 BA' = $\frac{x^2}{y}$ + 3 = x + 3 (代入 y = x), 所以: x + 3 = 2$\sqrt{3}$ $\Rightarrow$ x = $\sqrt{3}$. 故 AB + AC = x + y = 2x = 2$\sqrt{3}$. 最终周长 周长 = AB + AC + BC = 2$\sqrt{3}$ + 3. 答案: [3 + 2$\sqrt{3}$] (全程只用托勒密定理、直径性质、30°直角三角形, 完美避开正余弦定理! )