根据附件图片内容，讲解“托勒密定理及其应用”---Here is the extracted content from the image: 好的! 我们采用初中数学知识讲解托勒密定理 (Ptolemy's Theorem)。托勒密定理是解决圆内接四边形问题的强大工具, 核心是揭示四边形长与对角线长度的关系。 **一、定理内容** 若四边形内接于圆 (即圆内接四边形), 则其对角线长度的乘积等于两组对边长度乘积之和。 用数学语言表达: 在圆内接四边形 ABCD 中 (如图), 满足: `AC * BD = AB * CD + AD * BC` * `AC` 和 `BD` 是对角线 * `AB`, `CD` 是一组对边 * `AD`, `BC` 是另一组对边 **二、证明方法 (初中知识版)** 我们通过构造相似三角形来证明, 只需用到圆的性质和三角形相似。 证明步骤: 1. 构造辅助点: 在四边形内部作点 `E`, 使得 `∠BAE = ∠CAD` (即作 `∠BAE` 等于 `∠CAD`)。 2. 证明 `△ABE ~ △ACD`: * `∠BAE = ∠CAD` (构造条件) * `∠ABE = ∠ACD` (同弧 `AD` 所对的圆周角相等) * ∴ `△ABE ~ △ACD` (AA相似) * 对应边成比例: `AB/AC = BE/CD` ⇒ `AB * CD = AC * BE` (式1) 3. 证明 `△ABC ~ △AED`: * `∠BAC = ∠BAE + ∠EAC = ∠CAD + ∠EAC = ∠EAD` * `∠ACB = ∠ADE` (同弧 `AB` 所对的圆周角相等) * ∴ `△ABC ~ △AED` (AA相似) * 对应边成比例: `BC/ED = AC/AD` ⇒ `BC * AD = AC * ED` (式2) 4. 合并结论: * 将式1和式2相加: `AB * CD + BC * AD = AC * BE + AC * ED` * 右边提取公因式 AC: `AB * CD + AD * BC = AC * (BE + ED)` * 由于 `BE + ED = BD` (点 `E` 在线段 `BD` 上), 因此: `AB * CD + AD * BC = AC * BD` * 托勒密定理得证! **三、关键知识点 (初中基础)** 1. 圆内接四边形的性质: * 对角互补 (`∠A + ∠C = 180°`, `∠B + ∠D = 180°`). * 外角等于内对角 (如 `∠DCE = ∠BAD`). 2. 圆周角定理: * 同弧所对的圆周角相等 (证明相似的关键步骤)。 3. 三角形相似的判定: * AA相似 (两角对应相等)。 * SAS相似 (两边成比例且夹角相等)。 4. 比例性质: * 相似三角形对应边成比例, 可转化为乘积形式 (如 `a * d = b * c`)。 **四、逆定理 (补充)** 若四边形满足 `AC * BD = AB * CD + AD * BC`, 则该四边形是圆内接四边形。 这是判定四点共圆的重要方法! **总结** * **托勒密定理:** 圆内接四边形对角线乘积 = 两组对边乘积之和。 * **逆定理:** 若四边形对角线乘积 = 两组对边乘积之和, 则四点共圆。 * **证明核心:** 构造相似三角形, 利用圆周角定理转换角度关系。 * **初中要点:** 圆内接四边形性质 + 圆周角定理 + 三角形相似。 通过这个定理, 我们能巧妙解决圆内接四边形中的复杂边长问题, 是初中几何的“隐藏大招”! **五、应用示例** **∠A = 120°, BC = 3, 求 △ABC 周长最大值** (不用正弦定理), 我们可以通过几何构造将问题转化为线段最值问题, 核心思路是把 AB+AC 拼成一条线段, 再找圆上最远点! Chart/Diagram Description: Type: Geometric figure (Triangle). Main Elements: - Three vertices labeled A, B, C. - Angle at vertex A is labeled as 120 degrees. - Side BC is labeled with length 3. - The triangle appears to be obtuse-angled at A. - The background is dark with a greenish shaded area covering the triangle. 不用定理纯几何构造法: 一句话说清核心思路 —— 把 `AB+AC` “搬”成一条线段, 再找圆上最远点! 第一步: 点A的“活动范围”—— 优弧BC 咱们先画一条线段 BC=3, ∠A=120°. 问题是: A 点可以在哪里活动? 根据圆周角性质, 所有对 BC 弦角为 120° 的点, 都在可以 BC 为弦的同一个优弧上 (优弧就是比半圆长的弧)。你可以想像用圆规画个圆, 让 BC 是弦, A 在圆弧上滑动, 不管 A 怎么动, ∠BAC 始终是 120° (这是初中“定弦定角”模型, 记不住也没关系, 理解点 A 只能在这个圆弧上动就行)。 第二步: 把 AB+AC 拼成“一条线段”—— 构造等边三角形 现在要让 AB+AC 最大, 但这两条线段“岔开”的, 不好看。咱们自己把它们“拼”起来: 操作: 延长 BA 到 D, 让 AD=AC (比如 AC 长 2, 就在 A 往外再画 2 厘米到 D), 然后连接 CD。 为什么要这样? 简单吧)。 * `∠BAC = 120°`, 所以 `∠CAD = 180° - 120° = 60°` (平角是 180°)。 * `AD = AC`, `∠CAD = 60°`, 所以 `△ACD` 是等边三角形 (两边相等+60°角=等边三角形, 小学都学过!)。 * 等边三角形三边相等, 所以 `CD = AC = AD`。 现在看 AB+AC: AB 是原来的线段, AD=AC, 所以 `AB+AC = AB+AD = BD`! (完美拼成一条直线 BD)。 问题变成: 点 A 在优弧 BC 上滑动时, 线段 BD 啥时候最长? 第三步: BD 最长时 —— A 在优弧“正中间” 想像点 A 在优弧上滑来滑去: 滑到左边, AB 长 AC 短; 滑到右边, AC 长 AB 短; 滑到正中间, AB=AC (这时候 △ABC 左右对称)。 为什么中间时 BD 最长? * 生活常识: 一根绳子两端固定 (B、C 固定), 中间挂个重物, 绳子越“下坠” (点 A 离 BC 越远), 总长度越长。优弧中间是离 BC 最远的点 (最高点), 所以 AB+AC 最大, 对应的 BD 也最大。 第四步: 求 AB=AC 时的长度 (用30°直角三角形) 当 A 在优弧中点时, AB=AC, △ABC 是等腰三角形, 咱们 A 做 BC 的垂线, 垂足为 M (把 BC 分成两半, 所以 BM=MC=1.5)。 * `∠BAC = 120°`, 等腰三角形三线合一, AM 平分 `∠BAC`, 所以 `∠BAM = 60°`。 * 在 Rt△ABM 中, `∠BAM = 60°`, `∠ABM = 30°` (因为三角形内角和 180°, 120°+30°+30°=180°)。 * 30°直角三角形中, 斜边是 30°角对边的 2 倍 (重要结论!) : BM=1.5 是 30°角 (`∠ABM=30°`, 则 `∠BAM=60°` ?) *No, BM is opposite 60 degrees in Rt△ABM*. BM=1.5, 60°角 (`∠BAM`) 的对边是 BM, 30°角 (`∠ABM`) 的对边是 AM, 斜边 AB。 60°直角三角形三边比是 1 : √3 : 2 (短直角边 : 长直角边 : 斜边)。 这里 ∠ABM=30°, ∠BAM=60°. 短直角边 AM 对应 30°, 长直角边 BM=1.5 对应 60°, 斜边 AB 对应 90°. 所以 AM : BM : AB = 1 : √3 : 2. AM / 1 = BM / √3 = AB / 2. AM / 1 = 1.5 / √3. AM = 1.5 / √3 = √3/2. AB / 2 = 1.5 / √3. AB = 3 / √3 = √3. 记不住三角函数关系, 用特殊三角形三边比: 30°直角三角形三边比是 1:√3:2 (短直角边:长直角边:斜边)。 ∠ABM=30°, 它的对边 AM 是短直角边, ∠BAM=60°, 它的对边 BM 是长直角边。 BM=1.5 (对应 `√3` 份), 所以 1 份 = 1.5/√3 = √3/2, 斜边 AB 对应 2 份, 所以 AB = 2 * (√3/2) = √3。 (算出来了!)。 最后: 周长最大值 AB=AC=`√3`, 所以 AB+AC=`2√3`, 周长=`2√3`+BC=`2√3`+3. 一句话总结 把 AB+AC 拼成 BD, A 在优弧中点时 BD 最长, 此时 AB=AC=`√3`, 周长=`3 + 2√3`。 答案: 周长最大值为 `3 + 2√3`。 **总结 (不用正弦定理的几何法)** 1. 构造外接圆: 确定点 A 的轨迹 (优弧 BC)。 2. 构造等边三角形: 将 AB+AC 转化为线段 BD。 3. 找优弧中点: 此时 AB=AC, 用勾股定理求出 AB=`√3`。 *Correction based on calculation in Step 4: Used 30-60-90 triangle properties, not Pythagorean theorem directly on ABM.* Let's correct this step summary. Calculate AB=√3 using properties of 30-60-90 triangle. 4. 计算周长: `2√3 + 3`.