根据附件图片内容，讲解“托勒密定理及其应用”---Here is the extracted content from the image: 好的！我们采用初中数学知识讲解托勒密定理 (Ptolemy's Theorem)。托勒密定理是解决圆内接四边形问题的强大工具，核心是揭示四边形边长与对角线长度的关系。 **一、定理内容** 若四边形内接于圆 (即圆内接四边形), 则其对角线的长度的乘积等于两组对边长度乘积之和。 用数学语言表达: 在圆内接四边形 $ABCD$ 中 (如图), 满足: $AC \times BD = AB \times CD + AD \times BC$ * $AC$ 和 $BD$ 是对角线 * $AB, CD$ 是一组对边 * $AD, BC$ 是另一组对边 **二、证明方法 (初中知识版)** 我们通过构造相似三角形来证明, 只需用到圆的性质和三角形相似。 证明步骤: 1. 构造辅助点: 在四边形内部作点 $E$, 使得 $\angle BAE = \angle CAD$ (即作 $\angle BAE$ 等于 $\angle CAD$). 2. 证明 $\triangle ABE \sim \triangle ACD$: * $\angle BAE = \angle CAD$ (构造条件) * $\angle ABE = \angle ACD$ (同弧 $AD$ 所对的圆周角相等) * $\therefore \triangle ABE \sim \triangle ACD$ (AA相似) * 对应边成比例: $\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD} \Rightarrow AB \times CD = AC \times BE$ (式1) 3. 证明 $\triangle ABC \sim \triangle AED$: * $\angle BAC = \angle BAE + \angle EAC = \angle CAD + \angle EAC = \angle EAD$ * $\angle ACB = \angle ADE$ (同弧 $AB$ 所对的圆周角相等) * $\therefore \triangle ABC \sim \triangle AED$ (AA相似) * 对应边成比例: $\frac{BC}{ED} = \frac{AC}{AD} \Rightarrow BC \times AD = AC \times ED$ (式2) 4. 合并结论: * 将式1和式2相加: $AB \times CD + BC \times AD = AC \times BE + AC \times ED$ * 右边提取公因式 $AC$: $AB \times CD + BC \times AD = AC \times (BE + ED)$ * 由于 $BE + ED = BD$ (点 $E$ 在线段 $BD$ 上), 因此: $AB \times CD + AD \times BC = AC \times BD$ * 托勒密定理得证! **三、关键知识点 (初中基础)** 1. 圆内接四边形的性质: * 对角互补 ($\angle A + \angle C = 180^\circ, \angle B + \angle D = 180^\circ$). * 外角等于内对角 (如 $\angle DCE = \angle BAD$). 2. 圆周角定理: * 同弧所对的圆周角相等 (证明相似的关键步骤)。 3. 三角形相似的判定: * AA相似 (两角对应相等)。 * SAS相似 (两边成比例且夹角相等)。 4. 比例性质: 相似三角形对应边成比例, 可转化为乘积形式 (如 $a:d = b:c \Rightarrow a \cdot c = b \cdot d$). **四、逆定理 (补充)** 若四边形满足 $AC \times BD = AB \times CD + AD \times BC$, 则该四边形是圆内接四边形。 这是判定四点共圆的重要方法! **总结** * 托勒密定理: 圆内接四边形对角线乘积 = 两组对边乘积之和。 * 证明核心: 构造相似三角形, 利用圆周角定理转换为比例关系。 * 初中要点: 圆内接四边形性质 + 圆周角定理 + 三角形相似 + 比例性质。 通过这个定理, 我们能巧妙解决圆内接四边形中的复杂边长问题, 是初中几何的"隐藏大招"! **五、应用示例** **图描述:** Type: Geometric figure (Triangle). Main Elements: * A green triangle labeled A, B, C at the vertices. * Angle A is labeled inside the triangle with the value $120^\circ$. * Side BC is labeled with the length 3. * Vertices A, B, C are shown. $\angle A = 120^\circ, BC = 3$, 求 $\triangle ABC$ 周长最大值 要解决 $\triangle ABC$ 中 $\angle A = 120^\circ, BC = 3$, 求周长最大值的问题 (不用正弦定理), 我们可以通过几何构造将问题转化为线段最值问题, 核心思路是把 $AB + AC$ 拼成一条线段, 再利用圆的性质找最大值。 周长 = $AB + BC + AC$, $BC=3$ 固定, 所以周长最大值 = $AB + AC$ 的最大值 + 3. **一、先明确目标:** 求 $AB + AC$ 的最大值 **二、步骤1: 给点 A 找“家”——构造外接圆** 根据圆周角定理: 同一条弦对应的圆周角相等。 已知 $\angle A = 120^\circ, BC = 3$, 所以点 A 必须在以 BC 为弦的优弧上 (劣弧 BC 对应的圆周角是 $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$, 不符合 $\angle A = 120^\circ$). 简单说: 点 A 在优弧 BC 上运动时, $\angle A$ 始终保持 $120^\circ, BC$ 始终是 3。 **步骤2: 把 $AB + AC$ 变成“一条线段”——构造等边三角形** 操作: 延长 BA 到点 D, 让 $AD = AC$ (把 AB 往 A 的另一边拉长, 长度等于 AC), 然后连接 CD。 为什么这样做? * $\angle BAC = 120^\circ$, 所以 $\angle CAD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$ (平角的定义). * $AD = AC, \angle CAD = 60^\circ$, 所以 $\triangle ACD$ 是等边三角形 (两边相等且夹角 $60^\circ$ 的三角形是等边三角形)。 * 等边三角形三边相等, 所以 $CD = AC = AD$. 转化成功! $AB + AC = AB + AD = BD$ (把两段短线段拼接了一段长线段 BD)。 现在问题变成: 当点 A 在优弧 BC 上运动时, 线段 BD 的长度什么时候最大? **步骤3: 求 BD 的最大值——优弧中最“长”** 关键结论: 当点 A 在优弧 BC 的中点时, AB = AC (优弧中点到 B, C 的距离相等), 此时 BD 达到最大值。 验证 $AB = AC$ 时的长度 (用余弦定理): 设 $AB = AC = x, \angle A = 120^\circ$, 根据余弦定理 ($\angle A$ 对应边 BC): $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A$ 代入 $BC = 3, \angle A = 120^\circ (\cos 120^\circ = -1/2)$: $3^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot (-1/2)$ $9 = 2x^2 + x^2 = 3x^2$ 计算得: $3x^2 = 9$ $x^2 = 3$ 所以 $x = \sqrt{3}$ (边长为正)。 此时 BD 的长度: $AD = AC = \sqrt{3}, AB = \sqrt{3}$, 所以 $BD = AB + AD = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. **步骤4: 得出周长最大值** $AB + AC$ 的最大值是 $2\sqrt{3}$, 所以周长最大值 = $2\sqrt{3} + 3$. **为什么优弧中点时 BD 最大?** 几何直观: 点 A 在优弧 BC 上运动时, 离 BC 越远, AB 和 AC 越长 (优弧中点是优弧上到 BC 距离最大的点)。当 A 在中点时, AB = AC, 此时 $AD = AC = AB$, $BD = 2AB$, 达到最大值。 **总结 (不用正弦定理的几何法)** 1. 构造外接圆: 确定点 A 的轨迹 (优弧 BC). 2. 构造等边三角形: 将 $AB + AC$ 转化为线段 BD. 3. 找优弧中点: 此时 $AB = AC$, 用余弦定理求出 $AB = \sqrt{3}$, 得到 $BD = 2\sqrt{3}$. 4. 计算周长: $2\sqrt{3} + 3$. 答案: $\triangle ABC$ 周长的最大值为 $3 + 2\sqrt{3}$ (当且仅当 $AB = AC = \sqrt{3}$ 时取到)。