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在群论中，要判断一个子集是否构成子群，我们需要检验三个基本条件。首先是包含单位元，即群的单位元必须在子集中。其次是运算封闭性，子集中任意两个元素的运算结果仍在子集中。最后是包含逆元，子集中每个元素的逆元也必须在子集中。
第一个条件是包含单位元。我们需要检查群G的单位元e是否属于子集H。在这个例子中，单位元e确实在子集H中，所以满足第一个条件。如果单位元不在子集中，那么这个子集就不可能是子群。
第二个条件是运算封闭性。我们需要检查子集H中任意两个元素的运算结果是否仍在H中。例如，在子集H等于e和a中，我们计算a乘以a等于e，结果e仍然在H中。我们需要验证所有可能的元素对，确保它们的运算结果都在子集内。
第三个条件是包含逆元。对于子集H中的每个元素，我们需要检查它的逆元是否也在H中。在我们的例子中，单位元e的逆元是它自己，元素a的逆元也是a本身，都在子集H中。当这三个条件都满足时，我们就可以确认H是群G的一个子群。
凯莱图是可视化群结构的重要工具。绘制时，首先将群的每个元素表示为顶点，然后选择生成元集合，用有向边表示群运算。这里展示的是二元群Z₂的凯莱图，包含元素0和1，生成元是加1运算。红色箭头表示加1操作，从0指向1，从1指向0，完整展现了群的运算结构。