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在抽象代数中，群是最基本的代数结构之一。群由一个非空集合G和定义在其上的二元运算星号组成，记作(G, *)。要验证一个结构是否构成群，必须检查它是否满足四个基本公理：封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性。
现在详细解释群的前两个公理。封闭性要求对于集合G中任意两个元素a和b，它们的运算结果a星号b仍然属于G。结合律要求对于G中任意三个元素a、b、c，运算满足结合律，即括号a星号b括号星号c等于a星号括号b星号c括号。以整数加法为例，3加5等于8仍是整数，满足封闭性；括号2加3括号加4等于2加括号3加4括号都等于9，满足结合律。
群的后两个公理是单位元和逆元。单位元是集合G中的特殊元素e，对于G中任意元素a，都有e星号a等于a星号e等于a。逆元是指对于G中任意元素a，都存在一个元素a的负一次方，使得a星号a的负一次方等于a的负一次方星号a等于单位元e。在整数加法群中，单位元是0，因为0加任何数等于该数本身；任意整数a的逆元是负a，因为a加负a等于0。
现在通过一个具体实例来演示如何验证群。考虑模3加法群，集合G等于0、1、2，运算定义为a圆加b等于a加b模3。我们可以构造运算表来验证群公理。从表中可以看出，所有运算结果都在集合内，满足封闭性；0是单位元，因为0与任何元素运算都得到该元素本身；每个元素都有逆元，0的逆元是0，1的逆元是2，2的逆元是1。结合律也可以通过计算验证。因此这确实构成一个群。
群元素的计算是群论的重要应用。在群中我们可以进行元素运算、求逆元、计算元素的幂次，以及解群方程。许多群可以通过生成元来构造，即通过一个或几个生成元反复运算得到群的所有元素。以循环群Z4为例，生成元1通过反复加法运算可以生成所有元素：1的0次方等于0，1次方等于1，2次方等于2，3次方等于3，4次方又回到0。这样就得到了完整的群Z4等于0、1、2、3。在这个群中进行计算，比如2加3等于1模4。