根据附件图片内容，讲解“托勒密定理及其应用”---好的！我们来用初中数学知识讲解除勒密定理 (Ptolemy's Theorem)。托勒密定理是解决圆内接四边形问题的一个强大工具, 核心是揭示四边形长与对角线长度的关系。 **一、定理内容** 若四边形内接于圆 (即圆内接四边形), 则其对角线长度的乘积等于两组对边长度乘积之和。 用数学语言表达: 在圆内接四边形 ABCD 中 (如图), 满足: AC × BD = AB × CD + AD × BC AC 和 BD 是对角线 AB, CD 是一组对边 AD, BC 是另一组对边 (示意图: 圆内接四边形 ABCD, 对角线 AC 和 BD 相交) **二、证明方法 (初中知识版)** 我们通过构造相似三角形来证明, 只需用到圆的性质和三角形相似。 证明步骤: 1. 构造辅助点: 在四边形内部作点 E, 使得 ∠BAE = ∠CAD (即作 ∠BAE 等于 ∠CAD)。 2. 证明 △ABE ~ △ACD: ∠BAE = ∠CAD (构造条件) ∠ABE = ∠ACD (同弧 AD 所对的圆周角相等) ∴ △ABE ~ △ACD (AA相似) 对应边成比例: AB/AC = BE/CD ⇒ AB × CD = AC × BE (式1) 3. 证明 △ABC ~ △AED: ∠BAC = ∠BAE + ∠EAC = ∠CAD + ∠EAC = ∠EAD ∠ACB = ∠ADE (同弧 AB 所对的圆周角相等) ∴ △ABC ~ △AED (AA相似) 对应边成比例: BC/ED = AC/AD ⇒ BC × AD = AC × ED (式2) 4. 合并结论: 将式1和式2相加: AB × CD + BC × AD = AC × BE + AC × ED 右边提取公因式 AC: AB × CD + AD × BC = AC × (BE + ED) 由于 BE + ED = BD (点 E 在线段 BD 上), 因此: AB × CD + AD × BC = AC × BD 托勒密定理得证! **三、关键知识点 (初中基础)** 1. 圆内接四边形的性质: 对角互补 (∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°)。 外角等于内对角 (如 ∠DCE = ∠BAD)。 2. 圆周角定理: 同弧所对的圆周角相等 (证明相似的关键步骤)。 3. 三角形相似的判定: AA相似 (两角对应相等)。 SAS相似 (两边成比例且夹角相等)。 4. 比例性质: 相似三角形对应边成比例, 可转化为乘积形式 (如 a/b = c/d 可转化为 a × d = b × c)。 **五、逆定理 (补充)** 若四边形满足 AC × BD = AB × CD + AD × BC, 则该四边形是圆内接四边形。 这是判定四点共圆的重要方法! **总结** 托勒密定理: 圆内接四边形中对角线乘积 = 两组对边乘积之和。 证明核心: 构造相似三角形, 利用圆周角定理转化为比例关系。 初中要点: 圆内接四边形性质 + 圆周角定理 + 三角形相似。 托勒密定理不仅能解决圆内接四边形的边长问题, 还能巧妙地解决三角形的复杂边长问题, 是初中几何的"隐藏大招"! --- **Example Problem** Question: ∠A = 120°, BC = 3, 求 △ABC 周长最大值 Diagram Description: - Type: Geometric figure (Triangle) - Elements: - Vertices: Labeled A, B, C. - Angle: Angle at vertex A is labeled as 120 degrees. - Side: Side BC is labeled with length 3. - Shape: Triangle ABC is depicted, appearing obtuse-angled at A. - Labels: Angle A=120°, BC=3, seek max perimeter of △ABC. 要解决 △ABC 中 ∠A=120°, BC=3, 求周长最大值的问题, 我们需要将周长最大化转化为 AB+AC 的最大化 (因为 BC=3 固定)。 **三、方法3: 几何法 (外接圆 + 托勒密定理)** 步骤1: 构造外接圆 由于 ∠A = 120°, BC = 3, 点 A 在以 BC 为弦, 圆心角为 240° 的优弧上 (圆周角是圆心角的一半, 优弧 BC 对应圆周角 120°)。 外接圆半径 R = √3 (由正弦定理得 2R = 3/sin(120°) = 3/(√3/2) = 2√3, R = √3)。 步骤2: 转化 AB+AC 延长 BA 至 D, 使 AD=AC, 连接 CD。 由于 ∠BAC = 120°, 则 ∠CAD = 60°, 故 △ACD 为等边三角形 (AD=AC, 夹角 60°), 因此 CD = AC = AD。 此时, AB + AC = AB + AD = BD, 问题转化为求 BD 的最大值。 步骤3: 求 BD 最大值 点 D 在以 C 为圆心, AC 为半径的圆上 (因 CD=AC), 但更简单的: 当点 A 在优弧 BC 的中点时 (即 AB = AC), BD 达到最大值 (此时 D 与 A 共线, 且在圆上最远点)。 此时 AB = AC = √3, BD = 2√3, 周长最大值为 2√3 + 3。 结论 △ABC 周长的最大值为 3 + 2√3 (当且仅当 AB = AC = √3, 即 △ABC 为等腰三角形时取到)。 答案: 周长最大值为 3 + 2√3。