视频字幕
建立空间直角坐标系是解决立体几何问题的重要方法。它将几何问题转化为代数问题，通过坐标运算来求解。基本步骤包括：选择合适的坐标系，确定关键点坐标，用坐标表示几何元素，转化为代数计算，最后解释几何意义。这种方法系统性强，特别适用于处理复杂的空间关系。
选择合适的坐标系是关键的第一步。我们要利用图形的对称性，让尽可能多的点落在坐标轴上，让边平行于坐标轴。以四面体为例，我们可以将一个顶点放在原点，其他三个顶点分别放在三个坐标轴上，这样坐标表示最为简洁。
第二步是用坐标表示各种几何元素。点用三元组坐标表示，向量用坐标差表示，距离用坐标差的模长公式计算。平面可以用一般方程表示，直线用参数方程或对称方程表示。这样就把几何问题转化为了代数运算。
让我们看一个具体例子：求点P(1,1,1)到平面x+y+z=3的距离。首先写出平面的一般方程，确定法向量为(1,1,1)。然后使用点到平面距离公式，代入点的坐标和平面方程系数。计算得到距离为0，说明点P实际上就在平面上。
坐标法解决立体几何问题有显著优势：计算过程规范化，避免复杂空间想象；适用于各种复杂空间图形；可以精确计算距离、角度、体积等；便于验证检查结果。常见应用包括点线面距离计算、异面直线夹角、直线与平面夹角、二面角计算、立体图形体积计算等。总之，坐标法将几何问题代数化，使复杂的立体几何问题变得简单易解。
建立坐标系要遵循几个基本原则。首先要利用几何体的对称性，让关键点尽可能落在坐标轴上。其次让边平行于坐标轴，原点选在特殊位置。以正方体为例，我们将一个顶点作为原点，三条相邻的棱作为坐标轴，这样其他顶点的坐标就非常简洁，便于后续计算。
建立坐标系后，我们用向量运算来解决几何问题。向量可以表示为终点坐标减去起点坐标。向量的模长用坐标差的平方和开根号计算。点积公式可以判断向量垂直和计算夹角。当两向量点积为零时垂直，当一个向量是另一个的数倍时平行。这些向量运算是解决立体几何问题的核心工具。
让我们看一个具体例子：在棱长为2的正方体中，求直线AC₁与平面A₁BD的夹角。首先建立坐标系，以A为原点。确定关键点坐标：A在原点，B、D、A₁分别在坐标轴上，C₁在对角位置。然后求直线AC₁的方向向量和平面A₁BD的法向量。通过向量叉积计算法向量，最后用夹角公式计算。结果显示直线与平面垂直，夹角为90度。
总结一下，坐标法解决立体几何问题有显著优势：将几何问题转化为代数计算，避免复杂的空间想象，计算过程规范化系统化，适用于各种复杂立体图形，结果精确便于验证。基本流程是建立坐标系、确定坐标、进行向量运算、代数计算，最后解释几何意义。常见应用包括各种距离计算、角度计算、位置关系判断、体积面积计算等。坐标法真正让立体几何问题变得简单易解！