讲解这道题目并两外再寻找两道同类型的题目---**Question 2:** 已知集合 A = {x | x = a + √2b, a, b ∈ Z}, 若 x₁, x₂ ∈ A, 证明: x₁x₂ ∈ A. **Extraction Details:** * **Set Definition:** A is the set of x such that x equals a + √2b, where a and b are integers (Z denotes the set of integers). * **Condition:** If x₁ and x₂ are elements of set A. * **To Prove:** Prove that the product x₁x₂ is also an element of set A.

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今天我们来证明一个关于集合封闭性的重要问题。给定集合A包含所有形如a加根号2乘以b的数，其中a和b都是整数。我们需要证明如果x1和x2都属于集合A，那么它们的乘积x1乘以x2也属于集合A。这类问题考查的是集合在某种运算下的封闭性质。 证明的关键思路是利用集合A的定义。既然x1和x2都属于集合A，我们可以根据定义将它们表示为特定形式。设x1等于a1加根号2乘以b1，x2等于a2加根号2乘以b2，其中a1、b1、a2、b2都是整数。我们的目标是证明x1乘以x2的结果仍然可以表示为某个整数加根号2乘以另一个整数的形式。 现在我们开始计算x1乘以x2的乘积。将x1等于a1加根号2乘以b1，x2等于a2加根号2乘以b2代入，得到括号a1加根号2乘以b1括号乘以括号a2加根号2乘以b2括号。使用分配律展开这个乘积，我们得到a1乘以a2，加上a1乘以根号2乘以b2，加上根号2乘以b1乘以a2，加上根号2乘以b1乘以根号2乘以b2。注意根号2乘以根号2等于2。 现在我们重新整理展开的结果。将不含根号2的项和含根号2的项分别合并。常数项是a1乘以a2加上2乘以b1乘以b2，根号2的系数是a1乘以b2加上a2乘以b1。由于a1、a2、b1、b2都是整数，整数的加法和乘法运算结果仍然是整数，所以这两个表达式都是整数。因此x1乘以x2可以写成A撇加根号2乘以B撇的形式，其中A撇和B撇都是整数，这正好符合集合A的定义。 我们已经成功证明了集合A在乘法运算下的封闭性。现在让我们看两个同类型的题目。题目1要求证明集合B等于所有形如a加根号3乘以b的数在加法运算下的封闭性。题目2要求证明集合C等于所有形如a加根号5乘以b的数在乘法运算下的封闭性。这些问题的解法思路完全相同，都是利用集合的定义，将元素表示为特定形式，然后证明运算结果仍符合集合的定义。这类问题体现了代数结构中封闭性的重要概念。