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我们来解决一个关于不等式的问题。已知不等式5x加12倍根号xy小于等于a乘以x加y，对所有正实数x和y成立。我们需要求实数a的最小值。这是一个典型的恒成立问题，需要找到使不等式对所有正实数都成立的参数a的最小值。
首先我们分析这个不等式。将原不等式5x加12倍根号xy小于等于a乘以x加y进行变形，可以得到a大于等于5x加12倍根号xy除以x加y。由于这个不等式对所有正实数x和y都成立，所以a的最小值就等于表达式5x加12倍根号xy除以x加y在所有正实数x和y下的最大值。
为了简化表达式，我们引入参数t等于根号x除以y。由于x和y都是正实数，所以t大于0。此时x等于y乘以t的平方。将这个关系代入原表达式，经过化简可以得到5t平方加12t除以t平方加1。这样我们就将二元函数转化为了关于t的一元函数。
为了求函数f(t)等于5t平方加12t除以t平方加1的最大值，我们设k等于f(t)，整理得到关于t的二次方程。为了保证方程有实数解，判别式必须大于等于0。通过计算判别式并解不等式，我们得到k的取值范围是负4到9之间。
最后我们需要验证k等于9时是否对应正实数t的解。当k等于9时，方程变为4t平方减12t加9等于0，即2t减3的平方等于0，解得t等于二分之三，这是一个正实数。因此函数的最大值确实是9，所以实数a的最小值是9。