图中数学题 进行视频讲解---题 19: (17分) (1) 求 $f(x)=5\cos x - \cos 5x$ 在 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 的最大值; (2) 给定 $\theta \in (0,\pi)$ 和 $a \in \mathbb{R}$ , 证明: 存在 $y \in [a-\theta, a+\theta]$, 使得 $\cos y \leq \cos \theta$; (3) 若存在实数 $\varphi$, 使得对任意实数 $x$, 都有 $5\cos x - \cos(5x+\varphi) \leq b$, 求 $b$ 的最小值.

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

这是一道关于三角函数的综合题，包含三个部分。第一部分要求函数 f(x) = 5cos x - cos 5x 在区间 [0, π/4] 上的最大值。第二部分是一个存在性证明问题。第三部分涉及函数的上界问题。我们将逐一分析每个部分的解题思路。 第一部分要求函数 f(x) = 5cos x - cos 5x 在区间 [0, π/4] 上的最大值。首先求导数，f'(x) = 5(sin 5x - sin x)。令导数为零，得到 sin 5x = sin x。在给定区间内，驻点为 x = π/6。计算端点和驻点的函数值：f(0) = 4，f(π/6) = 3√3，f(π/4) = 3√2。比较可知，最大值为 3√3。 第二部分是一个存在性证明问题。要证明对于任意给定的θ和a，在区间[a-θ, a+θ]内总存在一点y使得cos y小于等于cos θ。我们分两种情况讨论：当区间长度2θ大于等于π时，区间必然包含使余弦值为-1的点；当区间长度小于π时，利用和差化积公式可以证明至少有一个端点满足条件。 第三部分要求b的最小值。问题等价于寻找函数5cos x - cos(5x+φ)对所有x的最大值中的最小值。当φ等于π时，函数变为5cos x + cos 5x。通过求导分析，在x等于0处取得最大值6。可以证明这是所有可能φ值中的最小上界，因此b的最小值为6。 通过这道综合题，我们复习了三角函数的重要知识点。第一部分运用导数求函数极值，答案是3√3。第二部分是存在性证明，利用了余弦函数的性质和和差化积公式。第三部分求最小上界，答案是6。这道题综合考查了三角函数的导数、性质、恒等式和最值问题，是很好的综合练习。