视频字幕
函数是高中数学的核心概念之一。简单来说，函数描述的是两个非空数集之间的特定对应关系。在我们的日常生活中，函数关系随处可见。比如，一天中时间与温度的关系，购买商品时数量与总价的关系，汽车行驶时间与路程的关系等等。这些都可以用函数来描述和分析。
现在我们来看函数的严格定义。设A和B是两个非空的数集，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称f是从集合A到集合B的一个函数，记作y等于f(x)，x属于A。这个定义中有两个关键词：每一个，强调定义域中的所有元素都要有对应的输出；唯一确定，强调一个输入只能对应一个输出，这是函数区别于一般对应关系的核心特征。
函数由三个基本要素组成，缺一不可。第一个要素是定义域，也就是自变量x的取值范围，通常记作集合A。第二个要素是值域，即因变量y的实际取值范围，它是集合B的一个子集。第三个要素是对应关系，指将定义域中的元素x映射到值域中对应元素y的具体法则f。这三个要素共同确定了一个完整的函数，任何一个要素的改变都会产生不同的函数。
函数有三种主要的表示方法。第一种是解析式法，用数学表达式来表示函数关系，比如y等于2x加1，或者y等于x的平方，这是最常用的方法。第二种是列表法，用表格的形式列出部分自变量的值及对应的函数值，比如列车时刻表、银行利率表等。第三种是图像法，用坐标系中的曲线来表示函数关系，通过图像可以直观地看出函数的性质。要判断一个图像是否表示函数，可以用垂直线检验法：任意一条垂直于x轴的直线最多与图像相交于一点。
最后我们来看判断两个函数是否为同一函数的标准。必须同时满足两个条件：定义域相同和对应关系相同。让我们通过例子来理解。第一个例子，f(x)等于x与g(x)等于x的平方除以x。虽然化简后对应关系相同，但f的定义域是实数集R，而g的定义域是R去掉0，定义域不同，所以它们不是同一函数。第二个例子，f(x)等于x与g(x)等于根号x的平方。在定义域为0到正无穷时，它们的定义域和对应关系都相同，是同一函数。但如果定义域扩展到整个实数集，由于根号x的平方等于x的绝对值，对应关系就不同了，因此不是同一函数。