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提取公因式法是因式分解的一种基本方法。它的核心思想是将多项式中各项都含有的公共因式提取出来，从而将多项式写成公因式与另一个多项式乘积的形式。这种方法的理论依据是乘法分配律的逆运算。让我们通过一个具体例子来理解这个方法。
确定公因式是提取公因式法的关键步骤。我们需要找出多项式各项系数的最大公约数，以及各项都含有的字母的最低次幂。对于表达式3x²y + 6xy² - 9xy，系数3、6、9的最大公约数是3，各项都含有x和y，其中x的最低次幂是x¹，y的最低次幂是y¹，因此公因式是3xy。
接下来进行具体的计算过程。第二步是用原多项式的每一项除以公因式3xy。3x²y除以3xy等于x，6xy²除以3xy等于2y，负9xy除以3xy等于负3。第三步将原多项式写成公因式与商式的乘积形式，即3x²y + 6xy² - 9xy = 3xy(x + 2y - 3)。这样我们就完成了提取公因式的整个过程。
现在让我们通过更多例题来巩固提取公因式法的应用。例题1：4a²b - 8ab² + 12ab，公因式是4ab，结果是4ab(a - 2b + 3)。例题2：6x³y² - 9x²y + 3xy，公因式是3xy，结果是3xy(2x²y - 3x + 1)。例题3：15m²n - 10mn² + 5mn，公因式是5mn，结果是5mn(3m - 2n + 1)。记住，我们可以通过展开因式分解的结果来验证答案的正确性。
让我们总结一下提取公因式法的要点。这个方法的关键步骤包括：找出各项系数的最大公约数，找出各项字母的最低次幂，确定公因式，用各项除以公因式，最后写成乘积形式。需要特别注意的是，公因式必须是各项都含有的因子，系数要取最大公约数，字母要取最低次幂。提取公因式法本质上是乘法分配律的逆运算，是因式分解的基础方法，掌握好这个方法对学习更复杂的因式分解非常重要。