解答下该题，并且要有配音---**Question Stem:**
设抛物线 C: y² = 6x 的焦点为 F. 过 F 的直线交 C 于 A, B. 过 F 且垂直于 AB 的直线交准线 l: x = -3/2 于 E. 过点 A 作准线 l 的垂线, 垂足为 D, 则 ( )
**Parabola Equation:**
C: y² = 6x
**Focus:**
F
**Directrix Equation:**
l: x = -3/2
**Points:**
A, B: Intersection points of a line through F with parabola C.
E: Intersection point of the line through F perpendicular to AB with the directrix l.
D: Foot of the perpendicular from A to the directrix l.
**Conditions:**
- Line passes through F and intersects C at A and B.
- Line passes through F and is perpendicular to AB, intersecting l at E.
- AD is perpendicular from A to l.
**Options:**
A. |AD| = |AF|
B. |AE| = |AB|
C. |AB| ≥ 6
D. |AE| ⋅ |BE| ≥ 18
视频信息
答案文本
视频字幕
我们来解答这道抛物线焦点弦的问题。题目给出抛物线 C 的方程是 y² = 6x，焦点为 F。过焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，过 F 且垂直于 AB 的直线交准线于点 E，从点 A 向准线作垂线，垂足为 D。我们需要分析各个选项的正确性。
首先我们确定抛物线的参数。抛物线方程 y² = 6x 是标准形式 y² = 2px，所以 2p = 6，即 p = 3。根据抛物线的性质，焦点 F 的坐标是 (p/2, 0)，也就是 (3/2, 0)。准线 l 的方程是 x = -p/2，也就是 x = -3/2。这些是解题的基础参数。
现在我们来分析选项A和C。选项A说|AD|等于|AF|。根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。点A在抛物线上，AD是点A到准线的垂线段，所以根据定义，|AF|等于|AD|，选项A是恒成立的。选项C说|AB|大于等于6。AB是过焦点的弦，也就是焦弦。焦弦长度公式是|AB|等于2p除以sin²α，对于这道题就是6除以sin²α。因为sin²α小于等于1，所以|AB|大于等于6，选项C也是恒成立的。
现在我们利用一个重要的几何定理。对于抛物线，过焦点的弦AB，如果过焦点F且垂直于AB的直线交准线于点E，那么角AEB等于90度。这意味着三角形AEB是一个以E为直角的直角三角形。在直角三角形中，两直角边的乘积等于斜边乘以斜边上的高。通过计算可以得出，|AE|乘以|BE|等于18除以sin³α。由于sin³α小于等于1，所以|AE|乘以|BE|大于等于18。因此选项D是正确答案。
让我们总结一下各个选项。选项A，|AD|等于|AF|，根据抛物线定义这是恒成立的。选项C，|AB|大于等于6，根据焦弦长度公式这也是恒成立的。选项B，|AE|等于|AB|，这个不一定成立。选项D，|AE|乘以|BE|大于等于18，我们通过几何定理证明了这个结论。虽然选项A和C都正确，但在单选题中，选项D是利用了题目中所有条件，特别是关于点E的条件推导出的结果，因此最符合题意。所以正确答案是D。