如图，在平面直角坐标系中，函数$y = \frac{5}{x}（x>0）$与$y = x - 1$的图象交于点$P（a，b）$，求代数式$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$的值。---**Chart/Diagram Description:**
* **Type:** 2D Cartesian coordinate system with two plotted lines.
* **Main Elements:**
* **Coordinate Axes:** A horizontal X-axis labeled 'x' and a vertical Y-axis labeled 'y'. Arrows indicate the positive direction.
* **Origin:** The intersection point of the X and Y axes, labeled 'O'.
* **Straight Line:** A straight line passing through the origin 'O'. It has a positive slope and extends into the first and third quadrants.
* **Curved Line:** A curved line is plotted in the first quadrant. It appears to decrease as x increases and is concave upwards in the visible section.
* **Point:** A point labeled 'P' is located in the first quadrant. It is the intersection point of the straight line and the curved line.
视频信息
答案文本
视频字幕
我们需要求解两个函数的交点问题。函数 y 等于 5 除以 x 是一个反比例函数，在第一象限呈现双曲线形状。函数 y 等于 x 减 1 是一条直线。这两个函数在第一象限相交于点 P，坐标为 (a, b)。我们的目标是求出代数式 1/a 减 1/b 的值。
由于点 P 是两个函数的交点，它的坐标必须同时满足两个函数方程。因此我们有 b 等于 5 除以 a，同时 b 等于 a 减 1。将这两个等式联立，得到 5 除以 a 等于 a 减 1。通过移项整理，我们得到二次方程 a 的平方减 a 减 5 等于 0。
现在我们从已知条件中提取关键信息。从 b 等于 5 除以 a，两边同时乘以 a，得到 ab 等于 5。从 b 等于 a 减 1，移项得到 b 减 a 等于负 1。接下来计算目标表达式 1/a 减 1/b。通过通分，我们得到 b 减 a 除以 ab。
现在我们将前面得到的结果代入最终表达式。我们有 1/a 减 1/b 等于 (b 减 a) 除以 ab。已知 ab 等于 5，b 减 a 等于负 1。将这些值代入，得到负 1 除以 5，即负五分之一。因此，代数式 1/a 减 1/b 的值为负五分之一。
通过这道题，我们学会了处理函数交点问题的一般方法。首先利用交点坐标同时满足两个函数方程的性质，建立关键等式。然后通过代数变换，将复杂的表达式转化为已知量的组合。最终得到答案负五分之一。这种方法在解决类似的函数交点问题中非常有效。