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这是一道关于正三棱柱的几何题。题目给出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，其中D为BC的中点，要求判断四个选项中哪个正确。让我们先观察这个正三棱柱的结构。
首先分析正三角形的性质。在正三棱柱中，底面ABC是正三角形，D是BC的中点。根据正三角形的重要性质，从顶点到对边中点的中线垂直于对边，因此AD垂直于BC。这是解决这道题的关键性质。
我们来分析这道关于正三棱柱的几何题。在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点。我们需要判断四个选项中哪个是正确的。首先让我们了解正三棱柱的基本结构和性质。
首先分析选项A：AD是否垂直于A₁C。在正三角形ABC中，由于D是BC的中点，AD是BC边上的中线，同时也是高线，因此AD垂直于BC。但是AD与A₁C是否垂直呢？这需要通过空间几何的方法来验证。
接下来分析选项B：BC是否垂直于平面AA₁D。要证明一条直线垂直于平面，需要证明该直线垂直于平面内的两条相交直线。我们已知AD垂直于BC，这是正三角形的性质。同时，在正三棱柱中，侧棱AA₁垂直于底面，因此AA₁也垂直于BC。由于AD和AA₁都在平面AA₁D内且相交于点A，所以BC垂直于平面AA₁D。选项B是正确的。
现在分析选项C和D。对于选项C，CC₁是棱柱的侧棱，与AA₁平行。由于CC₁不在平面AA₁D内，且与平面内的直线AA₁平行，所以CC₁平行于平面AA₁D，选项C也是正确的。对于选项D，AD在底面内，A₁B₁在顶面内，虽然两个平面平行，但AD与A₁B₁并不平行，它们是异面直线。
总结一下各选项的分析结果。选项A，AD垂直于A₁C，这个关系不一定成立。选项B，BC垂直于平面AA₁D，通过线面垂直的判定定理可以证明这是正确的。选项C，CC₁平行于平面AA₁D，由于CC₁与平面内的AA₁平行且不在平面内，所以也是正确的。选项D，AD平行于A₁B₁，这是错误的，它们是异面直线。因此，正确答案是B和C。
现在分析选项C和D。对于选项C，CC₁是棱柱的侧棱，与AA₁平行。由于CC₁不在平面AA₁D内，且与平面内的直线AA₁平行，所以CC₁平行于平面AA₁D，选项C也是正确的。对于选项D，AD在底面内，A₁B₁在顶面内，虽然两个平面平行，但AD与A₁B₁并不平行，它们是异面直线。
总结一下各选项的分析结果。选项A，AD垂直于A₁C，这个关系不一定成立。选项B，BC垂直于平面AA₁D，通过线面垂直的判定定理可以证明这是正确的。选项C，CC₁平行于平面AA₁D，由于CC₁与平面内的AA₁平行且不在平面内，所以也是正确的。选项D，AD平行于A₁B₁，这是错误的，它们是异面直线。根据题目要求选择一个答案，正确答案是B。