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范数是数学中的一个重要概念，它是一个函数，用于衡量向量或矩阵的"大小"或"长度"。最直观的理解方式是将其看作向量长度的度量。在二维平面中，我们可以用勾股定理计算向量的长度，这就是最常见的欧几里得范数。范数将这个长度概念推广到了更高维度的向量空间。
一个函数要被称为范数，必须满足三个基本性质。首先是非负性，范数总是非负的，只有零向量的范数才为零。其次是齐次性，向量乘以标量后的范数等于标量绝对值乘以原向量的范数。最后是三角不等式，两个向量和的范数不超过各自范数的和。这个性质在几何上表现为三角形的任意一边长度小于其他两边长度之和。
存在多种不同的范数类型，它们衡量向量大小的方式不同。L2范数是最常见的，就是我们熟悉的欧几里得距离。L1范数又称曼哈顿范数，计算各分量绝对值的和，就像在城市街道中只能沿坐标轴方向移动的距离。L无穷范数取各分量绝对值的最大值。对于向量(3,2)，L2范数约为3.6，L1范数为5，L无穷范数为3。
单位球是所有范数等于1的点的集合，它直观地展示了不同范数的几何特性。L2范数的单位球是一个圆，这符合我们对距离的直觉认识。L1范数的单位球是一个菱形，反映了曼哈顿距离的特点。L无穷范数的单位球是一个正方形，体现了取最大值的特性。通过观察单位球的形状，我们可以更好地理解不同范数如何衡量向量的大小。
范数在实际应用中发挥着重要作用。在机器学习中，L1正则化能产生稀疏解，有助于特征选择；L2正则化则能防止过拟合，使模型更加平滑。在优化算法中，范数用于控制步长和衡量收敛性。在数值分析中，范数帮助我们估计误差和分析算法的稳定性。在信号处理中，范数用于测量信号的能量。总之，范数为我们提供了量化和比较向量、矩阵大小的通用工具。