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在材料力学中，我们通过观察杆件表面矩形网格的变化来研究应力分布。当杆件受到弯曲载荷时，原本规则的矩形网格会发生变形。这种变形模式揭示了横截面上应力分布的基本规律。图中显示了一根梁及其表面的矩形网格，红色虚线表示中性轴的位置。
平面假设是材料力学中的基本假设。它认为杆件的横截面在变形前是平面，变形后仍然保持为平面，并且垂直于变形后的轴线。图中蓝色部分显示变形前的状态，当杆件发生弯曲时，横截面仍保持为直线，只是角度发生了变化。这一假设为建立应变分布规律提供了理论基础。
通过观察矩形网格的变形，我们可以直观地理解应变分布规律。在中性轴处，网格间距保持不变，应变为零。随着距离中性轴越远，网格的变形越明显。上方网格被拉伸，下方网格被压缩。这种变形模式表明应变与到中性轴的距离成正比，即ε等于κ乘以y，其中κ是曲率，y是到中性轴的距离。
根据胡克定律，应力等于弹性模量乘以应变。将应变的线性分布规律代入胡克定律，得到应力分布公式：σ等于E乘以κ乘以y。这表明应力沿横截面高度方向呈线性分布。图中显示了横截面上的应力分布：上部受拉应力，下部受压应力，中性轴处应力为零。右侧的三角形图表直观地展示了这种线性分布规律。
通过以上推导，我们得出了材料力学中杆件横截面应力分布的基本规律。从平面假设出发，建立了应变的线性分布关系。结合胡克定律，最终得到应力分布公式：σ等于E乘以κ乘以y。这表明横截面上的应力沿高度方向呈线性分布，在中性轴处应力为零，在截面边缘处达到最大值。这一规律是材料力学分析的重要基础，广泛应用于工程结构设计中。