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轴向拉压杆是材料力学中的基本构件。当直杆受到沿轴线方向的拉力或压力时，我们称之为轴向拉压杆。在这种情况下，杆件内部会产生应力，我们需要分析横截面上的应力分布规律。
应力是材料力学中的核心概念，定义为物体内部单位面积上的内力。当我们用一个假想的截面将轴向拉压杆切开时，截面上会显露出内力。根据静力平衡原理，这个内力N必须等于外力F，以保持杆件的平衡状态。
为了简化分析，我们需要对应力分布做出合理假设。根据圣维南原理，在远离载荷作用点和约束点的截面上，正应力在整个横截面上是均匀分布的。这个假设意味着截面上每一点的应力大小和方向都相同，应力值为常数。
现在我们建立力与应力之间的数学关系。根据应力的定义，截面上的总内力N等于应力σ在整个截面面积A上的积分。由于我们假设应力在截面上均匀分布，σ是一个常数，因此可以从积分号中提取出来，积分结果就是截面的总面积A。
通过前面的推导过程，我们最终得到了轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式：σ等于N除以A。其中σ是正应力，N是轴向内力，A是横截面面积。这个简洁而重要的公式是材料力学的基础，在钢筋混凝土结构设计、机械零件强度校核、桥梁工程计算等众多工程领域都有广泛应用。