En matemáticas, una integral es un concepto fundamental del cálculo. Representa tanto la operación inversa a la derivada como el área bajo una curva. El símbolo de la integral nos permite calcular la acumulación total de cantidades variables.
La integral indefinida, también llamada antiderivada, es la operación inversa a la derivada. Si tenemos una función f de x, su integral indefinida es una función F de x cuya derivada es f de x. Se representa con el símbolo integral seguido de dx, y siempre incluye una constante de integración C.
La integral definida calcula el área neta entre una función y el eje x en un intervalo específico de a hasta b. Geométricamente, representa el área sombreada bajo la curva. Esta interpretación es fundamental para entender cómo las integrales miden la acumulación total de cantidades que varían continuamente.
Para entender mejor las integrales, podemos aproximar el área bajo una curva usando rectángulos. Comenzamos con pocos rectángulos y aumentamos gradualmente su número. Cuantos más rectángulos usemos, mejor será nuestra aproximación. En el límite matemático, cuando tenemos infinitos rectángulos infinitesimalmente pequeños, obtenemos el valor exacto de la integral.
Las integrales tienen aplicaciones fundamentales en múltiples disciplinas. En física calculan trabajo y energía, en geometría determinan áreas y volúmenes, y en probabilidad analizan distribuciones. El Teorema Fundamental del Cálculo conecta las derivadas con las integrales, mostrando que son operaciones inversas. Este teorema unifica todo el cálculo diferencial e integral en una elegante relación matemática.