根据附件图片内容，讲解“瓜豆原理”---**瓜豆原理 (Melon-Bean Principle)** 这是一个解决动态几何问题的非常实用且形象的模型。 **一、核心思想:** 种瓜得瓜，种豆得豆。 这个原理的名字非常形象，来源于“种瓜得瓜，种豆得豆”的俗语。另一个与之关联的动点的运动轨迹(“得”)。就像你种下瓜的种子就会长出瓜藤结出瓜；种下豆的种子，就会长出豆苗结出豆。在几何中，它描述的是:一个动点的运动轨迹(“种”)决定了。 **二、模型核心要素** 1. **定点 (F):** 一个固定不变的点，是整个运动的中心或参照点。 2. **主动点 (A):** 按照某种规则运动的点。它的运动路径 (直线、线段、圆等) 是已知的或容易确定的。我们把它比作“种子”。 3. **从动点 (B):** 随着主动点 A 的运动，按照某种固定几何关系运动的点。它的运动路径是我们需要确定的。我们把它比作“长出的瓜或豆”。 **核心关联:** 主动点 A 和从动点 B 之间的位置关系由定点 F 确定，并且这个关系在运动过程中保持不变。这个不变的关系通常表现为以下两种之一 (或它们的组合): * **线段关系:** |FA| / |FB| = k (k 是常数，比例系数)。 * **角度关系:** ∠AFB = θ (θ 是常数，角度)。 **三、核心结论: 轨迹相似性** 瓜豆原理最强大的结论是: * 主动点 A 的运动轨迹和从动点 B 的运动轨迹在几何形状上是相似的。 * 如果主动点 A 的运动轨迹是直线，那么从动点 B 的运动轨迹也是直线。 * 如果主动点 A 的运动轨迹是圆，那么从动点 B 的运动轨迹也是圆。 * 从动点 B 的轨迹经过一个位似变换或旋转变换 (或两者的组合——旋转位似变换) 得到，这个变换的中心就是定点 F。 * 轨迹长度关系: 如果主动点 A 的轨迹长度是 L_A，那么从动点 B 的轨迹长度 L_B = k * L_A (其中 k 是比例系数)。 **四、如何应用 (解题步骤)** 1. **识别模型:** 在题目中找到三个关键点: 定点 (F)、主动点 (A)、从动点 (B)。 2. **确定不变关系:** 分析并明确 A、B 两点之间通过定点 F 保持不变的几何关系。最常见的是: * **定比:** |FA| / |FB| = k (常数)。 * **定角:** ∠AFB = θ (常数)。 * **定比 + 定角:** 同时满足定比和定角 (这通常是旋转位似)。 3. **确定主动点轨迹:** 明确主动点 A 的运动路径 (直线、圆等)。 4. **应用结论:** 根据瓜豆原理的核心结论，直接推断出从动点 B 的轨迹形状 (与 A 相同)。 5. **确定具体轨迹:** 仅仅知道形状还不够，需要找到 B 点轨迹的具体位置。常用方法: * **找临界点 (起点、终点):** 分析主动点 A 运动到路径端点 (或其它特殊位置，如最高点、最低点) 时，从动点 B 的位置。找到两个这样的点，连接起来通常就是 B 的直线轨迹；找到三个这样的点 (不共线)，通常可以确定 B 的圆轨迹的圆心和半径。 * **构造相似/全等:** 利用不变关系 (定比、定角)，在任意时刻构造一对包含定点 F、主动点 A 和从动点 B 的相似三角形或全等三角形 (常称为“手拉手”模型)。通过证明这对三角形的关系不变，来证明 B 点轨迹符合结论。 6. **计算或求解:** 确定了 B 点的运动轨迹后，题目要求的问题 (如求路径长、求最值等) 往往就迎刃而解了。 **五、典型例子: 主动点在直线上动** 场景: 定点 F，主动点 A 在直线 L 上运动。从动点 B 满足: |FB|/|FA| = k 且 ∠BFA = θ (θ 是常数角)。 结论: 从动点 B 的运动轨迹也是一条直线 L'。 证明/构造思路 (构造“手拉手”模型): 1. 找特殊点: 假设当 A 移动到直线 L 上的某个特定点 P 时，对应的 B 点在位置 Q。 2. 构造相似: 当 A 在 L 上运动到任意一点 A' 时，连接 FA', FB'。我们需要确定此时 B' 的位置。 3. 利用不变关系: 因为 |FB'|/|FA'| = k (与 |FQ|/|FP| = k 相同)，且 ∠B'FA' = θ (= ∠QFP)。 4. 旋转相似: 考虑三角形 FQ'P 和三角形 FB'A'。因为 |FQ|/|FP| = |FB'|/|FA'| = k，∠QFP = ∠B'FA' = θ。所以 ∠QFB' = ∠QFP + ∠PFB' = ∠B'FA' + ∠PFB' = ∠PFA'。此时才能直接证相似。更严谨的构造是: 5. 构造辅助线: 在直线 L 上任意取一点 P (非 F)。连接 FP，在 FP 上取点 Q，使得 |FQ|/|FP| = k。然后，以 F 为旋转中心，将线段 FQ 旋转角度 θ 得到线段 FR。连接 PR。 6. 关键: 当 A 在 L 上运动时，从动点 B 的位置满足: △FAB 与 △FPR 相似 (或恒等) 且绕 F 点旋转 θ 角的关系保持不变。实质上，点 B 的位置可以看作是点 A 的位置经过一个以 F 为中心、比例系数为 k、旋转角度为 θ 的旋转位似变换得到的。 7. 轨迹形状: 由于点 A 的轨迹 L 是直线，经过旋转位似变换 (直线→直线) 后，点 B 的轨迹 L' 必然也是直线。并且，这条直线 L' 可以由直线 L 经过相同的旋转位似变换得到。 **六、总结表格** | 要素 | 说明 | 类比 | | :------- | :------------------------------------------------------------------- | :--------- | | 定点 (F) | 固定不变的点，运动的中心 | FA | | 主动点 (A) | 按照已知规则运动的点 (轨迹已知) | 种子 | | 从动点 (B) | 随 A 运动，与 F、A 保持固定几何关系的点 (轨迹待求) | 长出的瓜/豆 | | 不变关系 | 运动过程中保持不变的几何关系: 定比 ( \|FA\|/\|FB\|=k ) 定角 ( ∠AFB=θ ) | | | 核心结论 | B 的轨迹形状与 A 的轨迹形状相同 (直线→直线，圆→圆) | 种瓜得瓜种豆得豆 | | | B 的轨迹是 A 的轨迹经过以 F 为中心的位似/旋转变换得到 | | | | B 的轨迹长度 = k * A 的轨迹长度 | | **理解要点:** * **“种”与“得”的对应:** A 的轨迹类型决定了 B 的轨迹类型。 * **“不变关系”是核心:** 没有这个固定关系 (定比、定角)，瓜豆原理就不成立。 * **“定点”是关键:** 所有的运动关系都是围绕定点 F 定义的。 * **“旋转位似”是本质:** 高中或更深入的视角下，瓜豆原理描述的是一个旋转位似变换。 掌握了瓜豆原理，你就能轻松解决一大类动态几何问题，尤其是求动点轨迹或轨迹长度的题目。做题时务必按照步骤识别模型要素和不变关系！ **例题** 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，D 是以点 A 为圆心、半径 3 的圆上一点，连接 BD，M 是 BD 的中点，求线段 CM 长度的最小值。 **Diagram Description:** Type: Geometric figure. Elements: * A right triangle ABC is shown with the right angle at vertex C. * Vertices are labeled A, B, C. * Side lengths are given: AC = 5, BC = 12. * A point D is shown, located on a circle. * A circle is drawn with center A and radius AD. The radius is specified as 3 in the problem statement. * A line segment BD is drawn. * A point M is marked on the line segment BD, indicated as the midpoint of BD. * A line segment CM is drawn. * Point C is at the vertex with the right angle. * Point A is connected to C and B. * Point B is connected to C. * Point D is connected to A and B. * Point M is connected to C. * The circle appears to pass through point D. **用瓜豆原理解答这道题** 解决这道题，我们可以结合瓜豆原理 + 中位线定理 + 点到圆的最短距离来分析，步骤如下: **步骤 1: 识别模型要素，构造定点** 题日中，D 是主动点 (在以 A 为圆心、半径 3 的圆上运动)，M 是从动点 (随 D 运动，是 BD 中点)。为了关联 M 和 D 的运动，我们构造定点 E——取 AB 的中点 E (利用三角形中位线定理的关键)。 **步骤 2: 分析 M 与 D 的几何关系 (中位线)** 在 △ABD 中，E 是 AB 中点，M 是 BD 中点，因此 EM 是 △ABD 的中位线。 根据中位线定理: EM // AD，且 EM = 1/2 AD。 **步骤 3: 用瓜豆原理确定 M 的轨迹** * 主动点 D 的轨迹: 以 A 为圆心、半径 3 的圆 (记为 ⊙A)。 * 不变关系: EM = 1/2 AD = 1/2 * 3 = 1.5 (定比 1/2)，且 E 是定点。 * 根据瓜豆原理: 主动点轨迹是圆，则从动点轨迹也为圆 (形状相似)。因此 M 的轨迹是以 E 为圆心，半径 r_M = 1.5 的圆 (记为 ⊙E)。 **步骤 4: 计算 CE 的长度 (点 C 到圆心 E 的距离)** 在 Rt△ABC 中: ∠ACB=90°，AC=5，BC=12，由勾股定理得 AB^2 = AC^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169。所以 AB = sqrt(169) = 13。 又因 E 是 AB 中点，根据直角三角形斜边中线定理 [or simply E is the midpoint of AB and C is a vertex], CE = 1/2 AB = 1/2 * 13 = 6.5。 **步骤 5: 求 CM 的最小值 (点到圆的最短距离)** 点 C 到圆 ⊙E 的最短距离为 圆心距 CE 减去圆的半径 r_M (当 M 在线段 CE 上时，CM 取得最小 值)。 因此， 最小值 = CE - r_M = 6.5 - 1.5 = 5。 **最终结论** 线段 CM 长度的最小值为 5。