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抽象代数是现代数学的重要分支，研究各种代数结构的性质。群是最基本的代数结构之一，由集合和满足特定公理的二元运算组成。群必须满足四个基本公理：结合律、单位元存在性、逆元存在性和封闭性。右图展示了一个简单的循环群例子。
单位元是群中的特殊元素，与任何元素运算都保持该元素不变。在任何群中，单位元都是唯一存在的。逆元是指与某个元素运算后得到单位元的元素。群的每个元素都有唯一的逆元。在循环群Z₄中，单位元e的逆元是自己，其他元素的逆元关系如表所示。
群的阶是指群中元素的总个数。元素的阶是指该元素的最小正整数次幂等于单位元。在Z₄群中，群的阶是4，单位元e的阶是1，元素a和a³的阶都是4，而a²的阶是2。元素的阶反映了该元素在群中的周期性质。
子群是群的子集，在原群的运算下仍然构成群。循环群是由单个元素生成的群，该元素称为生成元。Z₄是一个循环群，由元素a生成。Z₄的子群包括平凡子群{e}和由a²生成的子群{e, a²}。子群的概念帮助我们理解群的内部结构。
抽象代数是现代数学的重要分支，它研究各种代数结构的性质和规律。群论作为抽象代数的核心组成部分，为我们理解对称性、变换和结构提供了强大的工具。今天我们将介绍群论中的一些基本概念。
在群论中，单位元和逆元具有重要的唯一性质。单位元是满足与任何元素相乘都等于该元素本身的特殊元素，它在每个群中都是唯一存在的。逆元是使得与某元素相乘得到单位元的元素，每个群元素的逆元也是唯一的。这些唯一性可以通过简单的代数证明来确立。
群的阶是指群中元素的总个数，它是群的重要特征之一。子群是原群的一个子集，同时也构成一个群。子群必须满足三个条件：非空、对运算封闭、包含逆元。拉格朗日定理告诉我们，有限群的任何子群的阶都能整除原群的阶，这是群论中的重要结果。
循环群是群论中最简单也最重要的群类之一。循环群由单个元素生成，该元素称为生成元。循环群具有许多优美的性质：它们都是交换群，每个子群也是循环群，素数阶的群必然是循环群。常见的例子包括整数加法群、模n整数群等。
群可以根据元素个数分为有限群和无限群。有限群包含有限个元素，如Z₄有4个元素，对称群S₃有6个元素。无限群包含无限个元素，如整数加法群Z、有理数乘法群Q*等。群论作为抽象代数的基础，为现代数学的发展提供了重要的理论工具和研究方法。